Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Белавкин В.П. -> "Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах" -> 13

Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах - Белавкин В.П.

Белавкин В.П. Хаотическое состояние и стохастическое интегрирование в квантовых системах — РДХ, 1992. — 61 c.
Скачать (прямая ссылка): haoticheskiesostoyaniya1992.pdf
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 28 >> Следующая

(i) (iii). Если функция (b) = 1м (b) для псевдопуассоновског» состояния 1|)д (b) ¦¦= -ф (6д) на является абсолютно непрерывной по Д ЕЕ А для каждого h ?5 5И, то она имеет вид (3.4), где плотность тх: Ш -*¦ С является почти всюду линейным положительным функционалом. Поскольку ядро ЕЕ Ж | !! g Рр - 0, р = 1, 2, оо} индуктивной сходимости в М = [J Лц совпадает с ядром «У канонического представления i (g) -- j (g) = I в Ji\ равным согласно его конструкции простым функциям g: х >-*¦ g (х) ЕЕ ,УХ, где
Ух = {ь е 33 I 1Х (ь) = О, /х (аЪ) = о, 1Х (Ъс) = О, 1Х (аЪс) = О,
V а, Ь, с 53),
то ^-идеал .У*1 функций g ЕЕ Л со значениями g (х) в (3.6), соответствующий непрерывной в смысле gn -*¦ 0 =» ц (gn) 0 форме (3.4), обязательно
содержит .7. Это означает, что линейный функционал тх (Ь), равный почти для каждого х нулю на .7*, в силу этой непрерывности можно представить в виде
(3.5) линейного эрмитового функционала тх (b) = т (х, Ь\), а: ЕЕ А, на фактор-алгебре Ж/.'/т, изоморфной ^подалгебре ix (./;>) четверок (3.2) с таблицей умножения (3.3). При этом в силу теоремы Хана — Банаха и двойственности пространств Lp (Д) и L4 (А) при~ + -^- = 1 можно считать, что
ji есть локально-ограниченная, т — локально /^-интегрируемая и т0— локально //-интегрируемая функции на X.
Определим для каждого х ЕЕ X треугольное псевдоунитарное преобразование
S (-г) в Жх = С 0 Жх ® С вида (1.10),
где U —1Х, г* (х) = т. (х) и е* (х) = —1| т. (х) \fx!2. Обозначая (х) —
¦ (SH (х, g) S (х))", где i (x) есть треугольно-матричное представление (3.3) четверки (3.2) для Ь — g (х), получим
т (х, g) = (g°0 (х), т°0 (х)> — т* (х) g°„ (х) т (х)/ц (х) + ц (х) g~ (х),
где учтено, что g» (х) = ix (g (х)), и
Ц (*) g+ (х) = Ц (х) lx (g (х)) + к*х (g (х)) т (х) +
+ т* (х) кх (g (х)) + т* (х) ix (g (х)) т (х)/ц (х).
Условие положительности m (х, g*g) ^0 в этом представлении принимает вид
(.go (x)*g°o (х), М (х)> + ц (х) g°+ (x)*g°+ (х) >0, Vg е JH,
где <В, М (х)> = <В, то (х)> — т* (х) Вт (х)/ц (х), В е 3*х и g\ (х) ==
= кх (g (х)) + i.x (g (х)) т (х). Полученное неравенство доказывает положительность М (х) при g+ (х) и ц (х) > 0 при g0 (х) = 0. Это доказывает существование локально-ограниченных измеримых функций ц ^ 0 и положительных локально-интегрируемых функций М со значениями М (х) €= ?Е 9о*, определяющих функцию ц (g) в виде (3.9). Доказательство закончено.
74
В. П. БЕЛАВКИН
Замечание 3. Рассмотрим аддитивную подгруппу S С С X X Н X 53 (К) троек Ь = (Р, т), В) с инволюцией Ь* = (Р*, л#- #*),
где р *-> Р* ?= С — комплексное сопряжение, л >-> л* ЕЕ II — инволюция
•ц## = г] в С — линейном подпространстве Н С К, снабженном эрмитовой формой (| | ?) = §#•? ¦— (I I ?)* из псевдоевклидова пространства К, и В В* <= 53 (К) — эрмитово сопряжение (Bf | | ?) = (Ь I Bt), у?, ? е
<== if в -j-подалгебре Ж С S3 (Я) операторов 5 : л >-*¦ Бт] €Е= К, оставляю-
щих инвариантным II : ВН С Н, У/В ?Е X.
Определим в 53 структуру ^-алгебры, полагая
}.Ь = (>.р, ),ц, IB), а*с = (?*¦?, 1*С + ЛЧ, Л*С)
для любых ?. ? С, I» Е 53, а = (а, |, Л), с = (у, ?, С)- гДе обозначено ?#С — = (С*|)#. Нетрудно проверить, что эта дистрибутивная алгебра является ассоциативной: (аб) с = а (6с), только в случае
(Лт|К = Нт1С), ИЛ) С = А (1)С), VА, С SEE X, I, ц, I ЕЕ Н,
что возможно лишь при условии (Лт])-? = ()=?• (т]С), приводящем к (Л л) С — А (г]С). если = (?# j ?) есть невырожденная билинейная форма на Н в смысле {s-tj = 0 = rj- ? | У?, ? Н} =4> л = 0. Простой анализ положительности
I (b*b) = ), (г) | г]) + (В$ | л) + (л I ВО) + <В*В, А> > 0 линейной
формы I (Ь) = ?,р + ^_-Т) + Л-1^+ + (В, А), где >. = }.*, Ф+ = ft — ft*-
А = А*. приводит к условиям (В*В, А) 0, Vi? €Е Ж при 1 = 0 и
Чл1л)>о> УлеН, BeeX
при }. ф 0. Последнее возможно лишь при условии дефицитности формы (Л I Л) ~ Л'4'*Л : ^ У* ПРИ (Л I Л) 5s 0, Ул ?Е Н и Я, < 0 при (л | л) 0. Ул (= н, что является необходимым условием существования псевдопуас-соновского состояния па 53 = С X Н X X.
Считая без ограничения общности, что л#Л ^ ^ V л (в противном случае следует переобозначить b ь-*- (— р, л» Щ и Л*Л ь+- —Л*Л)> рассмотрим следующие два случая, в которых Н является гильбертовым пространством
1
относительно нормы || л II == <л". Л1/2>. гДе <ъ> О = -yd‘С + ?•?)•
Пример 1. Гауссовског состояние. Пусть X = {0} и ). = 1, т. е. Ъ = (р, л) и / (Ь) = <л, 0> + р, где <л, в> = 2 Re (л I 9), Ул = Л^- Алгебра 53 — С X Н при этом нильпотентна: ас — (|, 0), abc — (0, 0), У а,
Ь, с ЕЕ 53 и является коммутативной: [а, с] == ас — са = 0, если инволюция ф изометрична на II в К э II:
(6-1 о = a* ID, Vi, е е н.
Безгранично-делимый функционал фд (b) = ехр {(Р + <л, 0)) ^д}, отвечающий условно-положительной ^-форме Хд (b) = (р + <ТЬ 0)) Цд относительно эрмитовой операции
(a, I) it (у, a = (а* + а К) + V, + С), (О, 0) = и,
определяет производящий функционал фд (0, л) = 1 факториальных моментов гауссовского хаотического состояния над II с математическим ожиданием <6д> — <л, 9) Цд для b — (0, л) и конечной ковариацией <6д6д) =
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 28 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed