Стохастическое исчисление квантовых входных - выходных процессов и квантовая неразрушающая фильтрация - Белавкин В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Ко~'1*=К°+, Ко=0, К+=*0. (4.13)
В самом деле, линейная оболочка коммутативного семейства ортопроекторов {У®}, так же как и ^-ободочка ^-проекторов {С,}, является •- и ЧК-алгеброй % и <?, соответственно. В случае Со (i)=0 для всех ( произведение С* С j лежит в ?, как матрица с (С*СУ)®= 0, (С*СУ)^=0, (С*СУ)1«=0; такие коммутативные ‘матрицй также формируют коммутативную ^-алгебру Е, с точностью до идеала Zt, ибо С=0 и, следовательно, С*С=0 для любой матрицы С=С*С/, у которой C|J=0 при (|i, ч)ф
§ 5. Стохастические уравнения' квантовой условно-марковской фильтрации
Пусть наблюдаемые выходные процессы (3.1) самосопряженно* го семейства {Y*i — V (i)= Yl, i= 1, ..., m), Y(i)* = (i*), явг
ляются неразрушающими относительно любого КС процесса (4.1), определяемого диагональными Gv = Z6v с произвольными началь* ными Z(0)=A'®i, Х?В соответствии со следствием теоремы 2 это означает, что
Y(t, i) = U (t)*(I®'y(t, t))U(t),
Z{t) = U (t)*{X®i)U{t), (5.Ц
t
где y(t, i) = i/o(i)l + ^ X(c(r, i), dr), y°(t)€C. Более того, ко*
о
эффициенты c*(t, i), ц€{—, /}, v6{7, +}, У = {1, присое*
динены к коммутантам а< редуцированных алгебр а, = {у*}' отно, сительносамосопряженного семейства у*={у (г)\ г?[0, tf]} коммутирующих согласованных КС процессов у* = у (г) = у1, i=1, .тп, c(t, i)* = c(t, i*) в пространстве фока
Предположим в соответствии с условием теоремы 4, что матрицы с(t, i), i~ 1, ...,пг образуют коммутативную ^-алгебру над а' с точностью до ^-идеала 1( = {сба'|c~ = 0 = c+, (cjc)=0J,
где a, ={gv6a, | [с(*, i), g] = 0, г = 1, ..m) относительно частичного порядка jj. > v |^v = 0 (индексы fi = / = vg/ не сравнимы), и (cj с)( = ||((с®/)5+ + с+®/)ф( ||2, Ф#==^/(0(гр®60). (5.2)
При этом основное уравнение фильтрации (4.2) для
zt(U(tyZU{t))=U{t)'(it(Z)®I)U\i) (5.3)
в картине Шредингера можно записать в терминах условного состояния <Zy(t), Z—X® 1, определяющего в соответствии с замечанием 3 почти всюду е< (Z)=»= <Z>(/):
m
d{Z)^( )dt+^{ S*»ZSV+ ) kv (i) d~yt (5.4)
i-i
Здесь Z(t) = Z-I® (Z){t), ^,(0-^(0, (<W0-c$(*, i*)X Xdil(t) сЧ = с$ при (ц, v)=?( —, +), и с+(/, i)=c+(f, /) —
— < 5+ ) cij (f, 0, a kv (t, i) определяются решением сис-
темы уравнений
m
2 ( ) {t)cv-{t, i)cv(t, j)K{t, j) = c(t, i), f=l,...,/n, (5.5)
j^\
соответствующей системе (4.3) в картине Шредингера.
52
Рассмотрим условно-марковский случай КС-эволюции (2.1) открытой квантовой системы над алгеброй операторов 3§ = =&(2ё°), соответствующий предположению, что
S$(0=?/(0*Sv(0?/(0. Sv(0(5.6)
или Sv(t), ц€{ — > J), v6 {У, +} хотя бы присоединены почти всюду к 3§®а/. Последнее означает, что операторы Sv (t) описываются в представлении S’Z (Q') (см. замечание 3) абелевой фактор-алгебры a,'pt по нулевому идеалу *, = {убй/||(/®*/)Ф/1| =0} слабо измеримыми почти всюду ограниченными операторными функциями Sv (t)(<?>)== S*(<&*) на спектре й'Эсо', отож-
дествляемом с пространством траекторией to' наблюдаемого процесса у* на отрезке, [0, t\ с мерой n(dco') = < ф/ i /® 1 (</со')ф, ) , индуцируемой вектором ф( = ?/(0ф1 ф = \|>®60. В этом случае оказывается полезным понятие апостериорного квангозого состояния [3], для которого (5.4) дает при всех Z = X®\, рекурсивное стохастическое уравнение, обобщающее уравнение нелинейной нестационарной фильтрации Стратоновича в форме Ито классических условно-марковских процессов [9].
Определение 5. Апостериорным квантовым состоянием на алгебре 9$ называется ограничение 33®а/ условного состояния Z>-- ( Z ) (t, (о)== < Z ) < со'), отображающего алгебру фон Неймана 38®а/, at = {ytY в соответствии с формулой ( ф, 11®г, (2)ф, ) = = j (Z ) (со') ц (dco'), Z?<%®а, на абелеву фактор-алгебру a/Pt— —S’v (Q'), порождаемую наблюдаемым семейством у1. Апостериорным оператором плотности p(t)e33*®at' называется измеримое отображение р (t): Q1определяющее почти всюду положительный оператор р (t, со) = р (со') в 2ё° с единичным следом Тг^»р (со')= 1, соответствующий апостериорному состоянию
< Z ) (со')= < p(co'), Z ) :
<Z)(/)=Tr^.{p(0Z}B < р(0, Z ). (5.7)
Апостериорное состояние называется векторным (чистым на 33=3§ (26°)), если
”р(0=ф(0ф(0*. т-е. <Z)(0=$(0*Z^(0, (5.8)
где оператор cp(t): P-t-Ж®!?, y(t)z = I®zy(t), v’zGa,, разлагается почти всюду на нормированные векторы ф(/, со)=ф(ш')6<3^° в представлении (O').
Следующая теорема показывает, что в квантовом случае наряду с нелинейным стохастическим уравнением для р(0. заменяющим уравнение фон Неймана при условии непрерывного
53
неразрушающего наблюдения, можно вывести также и рекурсивное волновое апостериорное уравнение, добавляющее в уравнение Шредингера диссипативные и стохастические члены, ответственные за непрерывную редукцию (коллапс) апостериорного волнового пакета <р(0-
Для этого будем считать, что процесс у является парой (л, (f) ¦коммутирующих процессов п(jc)=X(e(t), t), <7(jc)=i(f (t), (), где x=(t, t), описываемых КС уравнениями в прост-
ранстве &
= 1,..т — ортогональные матрицы ё(/)ё(/) = 0, f (t)f (у) = 0, i=?y, и ё(Оf (у) = 0 при всех i, у=» = 1,..., т вида
/О /,* е+ (i)\ /0 е\ /+(0\
