Стохастическое исчисление квантовых входных - выходных процессов и квантовая неразрушающая фильтрация - Белавкин В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Et (S^C^CS)^)? — 0, потому что < Уф j (S^C^CS)^ ) = = < ф|5^Сд^(Уг®1)С5ф ) + для всех Y
Лемма 4.3. Пусть линейная комплексная оболочка семейства {У(0} и ^/ — оболочки семейств (C(i)}(/) являются коммутативными и ?-алгебрами W и ®t с точностью до идеалов 2Г и ?, соответственно. Тогда локально ограниченные процессы вида
t
К(0 = (К0+ХТ,°)®1+ J (^(С0+Х'С,)!;(г)^(г) (4.11)
о
где К06J, (ip\Vh) /. C0(0€Sj, Сt(t$=C$(i, »*), если (^v)^(-, +) и С, (ОТ = С+ (t, ?*)-е, (i, П, опре-
деленные слабо измеримыми локально ограниченными функциями ti—Ц6^', Х'бС, составляют едабо плотную «-подалгебру порождающую на векторе ф =--^®д0 то же подпространство &„ что и <я?'.
Доказательство. Используя КС формулу Ито (1.9) для Y*Y, dY=(S*CS)^a?, где С (0 = С0(0 + Л (/)€<?„ получим с
48
учетом коммутативности Y (t) с 5^, (O'-
d (Y-*Y) = (S* (С* (Г® 1)+ (Г® 1 )* С + С*С) S)? dAj.
Но С (0*С (06Ё< и, следовательно, (С* (К® 1) +(Г® 1)* С -{- С*С) (Об б® есть ^'-линейная комбинация {С (ОНО и некоторого С0 (t)&„
так же, как Y*Y& для К = Г04-Я,гК?б^ есть линейная комбинация f ( и Y0 gj. Следовательно, К*К fecTb процесс той же формы, что и У, и s?'t — оболочка унитарных операторов Y (0 вида (4i.Il) составляет абелев*у *-алгебру *SЭта алг.ебра порождает т. к. она имеет тот же коммутант s&t, что и семейство {Y (г, i), r<t, i = i, ..т}, порождающее $f, и, следовательно, %$>==$t==
Доказательство Основной теоремы. Найдем мартингал М, определяющий разложение (4.8) в Лемме 1. Предположим, что он есть стохастическое интегральное неупреждающее преобразование
г
= \ (S*€(S)v (г) (г\,
О
наблюдаемых мартингалов
^ *
Г, (0 = Yi (0 - \ в, (S*C (П S)~ (г) dr = j (S*C,S)vrfA^> о о
где процесс У0, соответствующий Со(0не следует принимать во внимание, так как, в соответствии с Леммой % Y0 есть почти всюду нулевой мартингал. Благодаря плотности lS’,qi в S’,, доказанной в Лемме 3, могут быть найдены коэффициенты х из условия
<ф|У(/)‘г(0ф>=<ф!У(0'е((2(0)Ф>,
определяющего st для всех Г (0 в форме (4.11). В самом деле, используя формулу Ито (1.13) для rfF==(S*CS)!J(iAj[, где С = С0 +
+ Сгл', можно получить
d < Ф | Y*Zq> > = { q> j S* (Г® I С)* QSy ) л. di =
= < ф | (ГЧ (S*OS)++(S*C*OS)+) ф > dt.
С другой стороны, принимая во внимание, что
+ dM=(S*C/S)v>:/c/AiH,
можно получить
d { ф I Y*et (Z) ф > = ( ф I Y*et (S*OS)^ > dt +
+ ( ф J ((S*C*S)+ zt (Z) -f-(S*C*CiS)+ у.')ф > dt.
7-1 49
Следовательно,
< Ф|S*C*€|SK/q>') +- < ф] ((§*C*GS)+—(S*C*S)+ г,(Z)) Ф >, что эквивалентно (4.5) для С—С04-СД* и
< ф I S*c0*c (/*) вх'ф > - < ф I ((S*C*GS)+—(S*CqS)+ е, (Z)) Ф >,
благодаря C*Cj—С*С, и произвольности Но левая часть
последнего уравнения равна нулю
<ФК5‘С*С,5)ТФ> - <(С«5».+С»)0ф|(С°^+ С°+),ф> -О,
т. к. < ФI (S*C*C0S)+ ф > -II (C°S°4-С°+)оФ IP—0 для с0ег,. С другой стороны, принимая во внимание, что
< Ф|(S*C*QS)+ Ф > = < Ф|(S*C;(Z®1)S)+V > ,
для G=*Z®f-fD, и вследствии Анормальности
/^о/^о* _ /^о*/^о пап—* го*/?о г-г-* по* па
^0 0 О ^0’ и0 0 —U0U+’ U0U0 — + +’
для С06?< как для операторной матрицы коммутативной ^алгебры 9^, можно получить
< ф I (S*CqGS)+ ф > - < ф I \с+ + СГ5ДОФ > +
+ <4C|P»+C!^p|ZS^p> - <v|(C--Z + 5^Cg-Z5poV> =
- < ФI (С;*+ CJCjjfC^Ztp > -
- < Ф|(с++с°;с^со wz>p >.
Здесь CJ+—квазиобратная сопряженная матрица для нормального С«=*С*С|!+С«, и использовано (С^+С^Ф—О, (С®*5®.+ 4-С^-*)0ф=0 для ^--нормального C^Zt. Следовательно, правая часть уравнения (4.12) также нулевая:
< Ф| (S*C;OS)- ф > - < ф | (S*CjS)- е, (Z) ф > , ибо таким же образом можно получить
<V|(S*c;S)-e<(Z)V> - <Ф|(С?+Су5^);«|(2)Ф> +
+ <(C°S°+C^+V|S^,(Z)q>>-
- < ФI (С- + c%cpc%)itt (Z)q> >.
Это доказывает таКже единственность решения уравнения (4.5) с точностью до ядра корреляционной матрицы o(0®=(°J)(0i потому что если (о'.Х^)(*)«= 0 для некоторого .^-согласованного рек-
50
торного процесса то C0=^Ci6l< и, следовательно,
< Л.'ф I в (S*C*OS)~ — е (S*C*S)~e (Z)) <р > =
= (f!((S*C;OS);-(S‘C;S);e(Z))(p > =0.
В случае (?? =*= Z6?, можно легко получить урарнение (4.6) из
(4.5), если принять во внимание, что
e(S*C (Z®1)S)~«= С-е (Z) + Сдв (ZS° )+е (S%Z) С°+ + -^(S^ZS^,
и
е (5*С5);е (Z) - С~ е (Z) + C0~8 (Z) е (S°+) + г (5® )* е (Z) С°+ +
¦+e(S»C2S*je(Z).
Начальное условие в0(Л'®1)=е(А’)®1 для уравнения (4.2) следует также искать в линейном виде е(ЛГ)=« < ^ f > + У%\ где к1 находится из < Кг|> | Л\|> > = < Кг|> | е (JQ г|> > , W = К0+ где K06J и Х'бС. Это дает начальное уравнение (4.7).- Терема
4 доказана.
Следствие 4. Если {К®}—семейство попарно-ортогональных проекторов в Ж, тогда как {С (t)}—ортогональные ^-проективные матрицы C*=f=C(t) = CJ, то условия теоремы 4 выполнены, и она выполнены также в случае С®=0 для всех и В частности, для случая Со==1, С+ = 0 = С+, С+ = 0, соответствующего выходному считающему процессу У =¦ Л^о, уравнение (4.5) дает
k°o(t)=l)b(S0+*S°+){t), к+=0=К°+, К+=0, (4.12)
где предполагается, что е, ($<?5®) (t) ф 0. В другом случае Со’=*/ = С^, Со=*0, С+=>0, соответствующему выходному координатном у процессу Y¦== №- +-No =Q, можно получить о (t) = = /, и
