Стохастическое исчисление квантовых входных - выходных процессов и квантовая неразрушающая фильтрация - Белавкин В.П.
Скачать (прямая ссылка):
>= 38 (3e°)®at в центр ct—atp[a't=a't1 определенное почти всюду как
© '
е, (Z) Р, = 5 < Z ) ((O') р (<о0 II (da0, (3.11)
а'
в дальнейшем отождествляется с условным состоянием <Z>(co'), совпадающим при t=О с априорным состоянием <Z> = <<p)Z<p>.
§ 4. Стохастическое исчисление апостериорных квантовых процессов
Предположим, что <p=i|>®60, где б0 есть вакуумный вектор, и пусть выходные коммутирующие процессы (3.1) являются неразрушающими относительно
t
Z(t) = Z (0) + S (S*bS-Z®\)» d\l, (4.1)
о
где Z (0)6^0, fl(0€^ —алгебра матричных операторов 0(0 = -(<K)(9. Gl = Z = Gt (ft=0 при [х= + или м= —, коммутирующих с V (г), r<t и t (0:St<,= {6ve*^/ ЦС,, 6] = 0, *=1, ...
..т). Далее мы будем .требовать для векторного процесса
УГ=(К,),_1..... непрерывность справа в смысле что
1>( . _
эквивалентно Cv(*, для всех» и / (или присоединено к зФ,).
Обозначим через % линейную оболочку начальных операторов {У®} и операторов Коб# нзидеала 3={сЪ<8' |< С | С > =0}, ( С | С ) = = |j С<р ||2. Мы также обозначим Е, .я^'-оболочку операторных матриц
К-(i)} (0 и идеала ?,=| CI=0=С+, (С|С) = 0} коммутативной ^--алгебры
я;={с^;|[с, 0]=о, йеад,
соответствующей ядру пб^лускайярного произведения
(С |С) = < <р j(S* C*CS)+q> ) =(CS+9 j CS+<p) = |jC0S+<p |р, где —(0, = —строка, сопряженная столбцу /?+
матрицы R==(Rv) ==CS. Сейчас мы готовы сформулировать основную теорему, при доказательстве которой мы будем опускать крышки над операторами, указывающие, что исчисление ведется в картине Гейзенберга.
Теорема 4. Пусть выходной процесс (3.1) является неразрушающим относительно КС процесса (4.1) и оболочки З7,
45
являются и ?-алгебрами соответственно. Тогда апостериорное среднее значение e,(Z(t)) для начального вектора состояния ф=1|?®б0, определено согласованными коммутатив-
ными матричными процессами K(i)-(К-,*) (i), K(t,
= 1, ..m почти всюду как j^Z-линейное неупреждающее преобразование выходного процесса У стохастическим, уравнением Ито
т
det (Z)=e, (S* Q$)ldt + 2 e< ($*K (i) OS)+dF,. (4.2)
i-i
Здесь MG)+ = MG+). 0(0—6(0-e,(Z(0®l, и
Y(t,i)^(i,i)-zt(S*C(i)^)+(i)di, Y(0, i)==F?.® 1 (4.3)
— наблюдаемый мартингал относительно фильтрации (&t) и вектора состояния называемый обновляющим процессом
для (st/).
Процесс К определен однозначно с точностью до ядра корреляционной матрицы-процесса а=(о/),
a}(0=e,(S*C(/)C (jy$)+(t) (4.4)
•5$,-линейным уравнением
/71
2°у(0К(/,/)=С(/, 0, *' = 1. .... Я. (4.5)
'"1
дающим в случае 0(0 — Z(0®* уравнению (4.2) линейную относительно Z форму
т
dzt (Z) — е, (S*7ZSl)dt + 2 е, (S'^ZSl) К$ (i) dY„ (4.6)
i-i
где Z(0=Z(0—e( (Z(t)). Начальное апостериорное среднее e0(Z) = e(A')®i от Z(0)=X® 1 есть линейная комбинация
т
е(А') = Х=-Х— <гр|Хя|))/
операторов ^ | ) /, где АГ=(АГ<) определено урав-
нением
m
2i = l..................m; (4.7)
с точностью до ядра начальной корреляционной матрицы о°==(а°у)#
Для того, чтобы доказать эту фундаментальную теорему фильтрации, мы нуждаемся в следующих леммах.
46
Лемма 4.1. Если процесс Z удовлетворяет уравнению (4.1), то существует такой мартингал М—{М,) относительно ($,, <р), присоединенный к si-S на ^,ф, что почти всюду
t
е, (Z (0)=е0 (Z (0))+ j er (S*G$)+(r) dr + Mt. (4.8)
о
Доказательство. Определим Mt сначала на ф:
t
М,ф- (Et - E0) Z (O' Ф+j (Et - Er) (S*GS)?(r) rfAj (г)Ф.
о
Очевидно, что Mtq> удовлетворяет (S',, Ф)-мартингальному условию ?,гЖ<Ф = ЖгФ для всех г<< и
t
?,^(0ф=?,(^(0)ф+ f ?r(S*QS)^ (г)чм/г + И1,Ф
о
благодаря (S*OS)v (г)t/ЛП (г)Ф = -С,-(S*OS)+ (г)для ф==
—Оператор М„ присоединенный к st-t, может быть корректно определен почти всюду как' г, (М,) = М, в сЯучае (3.5) для Z = Af: MtAy*= AEtMtq—AMt4, 4A?st-t. Итак, для любого AfisZt мы имеем
t
t
-» е0 (Z (0)) Лф -f J er (S*GS)+ (г) Aydr -f- MtAq> о
и, следовательно, (4.8) имеет место на плотном линейном многообразии «я?,Ф носителя 3it состояния Ф на
t
Лемма 4.2. Процесс (S^CS^A^ с С(/)€©< есть мар-
о
тингал относительно (8ь ф), если и только если е, (§*С§)+(/) = 0 для всех t, т. е. почти всюду
С+(0+ Со (0е< (5^) + e<(St)*C0+(0+e<(5o;cg5°+)(0 = 0; (4.9)
М есть нулевой мартингал (почти всюду), если и только если С (/) €?„ что эквивалентно еД5*С*С5)+(/)=0 для всех t почти всюду, т. е.
®<((C+-bdoS+)*(C+ + CoS+)) (0—0 (4.10)
и, следовательно С+ (0=e^S+CoS+)(0-
Доказательство. Благодаря коммутативности М{ с 4sft, мы должны доказать только,что EtMs<Q=Mt<Q для всех s>t если и только если Е, (S*CS)+(/)=0 для всех t. В самом деда,
S
Et(Ms — М,)ф= j*(r)qjcfr ==.0 для всех s>t, если и
t
только если Et (S*CS)+ (г)<р=0 для всех t < г, что эквивалентно ?,(S*CS)+(0<P=0 для всех t в силу Е,ЕГ=>Е, при t<r. Последнее можно записать в форме (4.10), если учесть, что
(s*cs);=с;+СоК -ь s°+c°++s^c?s°+.
Если М,— мартингал, то
е, [(Ms - MtY (Ms - Mt)\ = e, (M *MS)
t
= j* e, (S*C*CS)+(d) dr> 0
<
и Mt есть нулевой мартингал | Ms— Mt !2=0 только если e, (S*C*CS)+(r) = 0 для всех t< г, что эквивалентно
е, (S*C*CS)+(i!)=*0 для всех t. Последнее можно записать в форме(4.10)в терминах (S*'C*‘CS)+ = (C+-|-C+S+)*(C+ + C+S+). Но это означает, что (C++C?s+)<P=0, т. е. С (/>6^. Обратно, если С(062<, т. е. < Ф | (S^C^CSj+q)) =0, то
