Стохастическое исчисление квантовых входных - выходных процессов и квантовая неразрушающая фильтрация - Белавкин В.П.
Скачать (прямая ссылка):
ei(Z)A(p=AE,Zq>, VAGst,, (3.5)
где Efcst-t есть ортопроектор на $/р. Формула (3.5) однозначно определяет почти вооду 8,(2) как оператор е, (Z)Ph присоединенный к st-tP, также и для неограниченных Z, где Pfc&t— ортопроектор на
Доказательство. Пусть [X, С]=?0 дЛя некоторого X?58t и С€$< и есть положительная проекция на
коммутант алгебры совместимая с ф€5?, для которых
<<p|{j, С]ф)=/=0. Тогда благодаря свойству модулярности et(XC) =е,(Х)С, е,(СХ) =Се,(Х), где С&&,,.Х?<%,, мы получили бы
<ф|{е,(Х), С]ф>=<ф|[Х, С]ф>=И=0,
что могло бы быть только в случае неабелевой 9V Но для неабелевой условное ожидание не существует для всех векторов фбЗё если только *&1фЗЬ1, как это может быть легко показано для фактора s^t=<Su ФгФС!. В самом'деле, в этом случае вектор ф должен иметь ([21]) форму фо®фь и е<(Д®С) =
= <фо|Вфо>/о®С, где фо^о=И=С, если #(=И=®У', Ф1^1—Ф^ф, в соответствии с декомпозицией Зё—Жо®Зё\. Таким образом, необходимо, чтобы
Определим е, для такой абелевой алгебры 4gt формулой (3.5), где .s?,='gj, и вектор ф—фиксирован. Ортопроектор Et коммутирует с благодаря инвариантности St =%>tq> относительно действия алгебры с€,. Следовательно, оператор <EtZE, коммутирует с &'tEt:
E,ZE,CEi—E,ZCEt=E,CZE, — CE,ZE,=EtQEtZEt,
если оператор Z коммутирует со всеми Сб®\. Но это означает, что EtZE, присоединен к редуцированной алгебре E,s?E,= = ((ё'Е,)/ на &„ совпадающей со своим коммутантом stt'Et на
42
St, потому что индуцированная абелева алгебра slt'Ex имеет циклический вектор <р в St, и следовательно st-/E,— (WtEt)' на St. Коммутативность Ets&,Et=s?t'Et помогает установить корректность ЛФ=0=>-е( (Z)/l(p—0 определения (3.5) линейного оператора e,(Z) на ибо
lie, (Z) Лф|| = |И?,гФ|| = II (EtA-AE,) '!*E,ZEM\ -
— ?,Z?,(?HM?,)1/2ф ,
если ?,ф=ф, н (EtA'AEt)m<f=0, если ЛФ=0,
- Оператор г( (Z): Аср>— АЕtZф, имеющий область значений — коммутирует с произвольным A??t-t благодаря определению (3.5), так что оператор P,et (Z) присоединен к алгебре Р^Р,, совпадающей с s&tPt, ибо =
Отображение Z>-+zl (Z) сохраняет единицу:
е, (/) ЛФ=AEtq>= ЛФ,
потому что ф€<?Р(, и обладает модулярным свойством
e/(ZC)Лф=J4?,CZф=J4C?,Zф=CJ(4?(Zф=CE^(Z)Лф
для всех A(*sf-t и Сб^', и, следовательно, отображает алгебру st'f на подалгебру s&'t<zst-b представленную на 361 —Ptj/6.
Докажем единственность представления (3.5) условного ожидания е, как отображения на. фактор-подалгебру st'tl&'tPj-^st-'tPt, где Pf- = f — Pfes?'t есть носитель ф,-являющийся ортопроектором на stt<p = 3ftt. Благодаря коммутативности е, (Z) с stt имеем: zt(Z) Ay—Att(Z) ф для всех Af*sf-t; Следовательно, необходимо доказать, что et(Z)4emEtZ<f. Но е, (Z^g €-Я^ф, потому что е, (Z)для ZQS&,; следовательно, надо доказать, что ( Сф | е, (Z) ф ) = ( СФ | ) дяя всех Сб-я^«
что вытекает из свойств модулярности и совместимости:
< Сф | г, (Z) ф ) — < Ф | е, (C*Z) ф ) == ( ф | (^Ф > =
— < C<p\EtZ(p ).
Доказательство закончено.
Замеяание 3. Отождествим абелёву алгебру s4-\Pi на носителе Р?&', вектора состояния <р с пространством 3?™ {Q‘) существенно ограниченных комплексных функций на множестве Q' спектральных значений ш' коммутирующего семейства У1 относительно вероятностной меры
ji (d<»0 = <ф|/(с?©0ф) , (3.6)
индуцирова ной на ?2* спекпральным разложением, Y* =» J ш'/ (du>t). Тогда условное ожидание е, можно ошсать как услов-
ное состояние Z~ { Z > (©*). определенное для каждого Z6»^<
почти всюду -на Q* как функция < Z ) (Q^, < Z ) (to')=
— < ф) I z4i > (“О-
®.
В самом деле, если Pt=\P (со') ц (йш/) есть соответствую-
а*
щая декомпозиция носителя Р,в&'г то
©
Ptet (Z)= f < Z > (®0Я (о)') |i (rfo>0, (3.7)
Q<
где <Z > (ш<)= > (ft)') и ф7(ш<) = 'Р(®0Ф/1!ЯЮф1| —
векторы, определяющие разложение
©
?/== J | Ф, (0)0 > < Ф~, (0)01 И (</0)0. (3.8)
в'
Следовательно, ef(Z) можно рассматривать для каждого ZGst, как функцию e»(Z): 6ji-*(Z)((o,)P(6j,)r определяемую для почти всех траекторий (o‘6Q‘, наблюдаемых до момента t, условным средним значением.
Начальное условное ожидание е0 относительно 3S'®i и <р=гр®е дается для Z=*X®\, Х?ЗВ произведением е (Л)® 1, где
©
е(Л)Р=»$ < ^(Ш)1*Ч>И > Р (<**»). (3.9)
Q
|x(rf(o)=»j|/(rfco)i|)||2. Здесь векторы ф(ш)=Р (ш)г(>/|| Р (ш) | J, й>6?2 начального условного состояния < Z > °?L" (Q) определяют разложение Е0 — Е® 1,
Ф
?=$|Ч>Н> <Ф(®)И<*®); (3.10)
а
ортогональное семейство {Р (со)} ортопроекторов Р (со)б35' задает
Ф
декомпозицию Р—\ P(o>)|i(rf<o) носителя Р0=Р®1 вектора со-о
стояния ij) на 31', соответствующую ортогональному разложению У0=^ (о/(rfto) на спектре L2 коммутативного семейства У°={У°}
начальных операторов Уt (0) = К?®1, У%3!'.
Если коммутативный наблюдаемый процесс в представлении Шредингера имеет вид Y(t)—I®y(t), ооотзетствующий условию неразрушения относительно любого КС процесса Z (t) = X (t)® 1, и ФбЖ — произвольный вектор состояния в 36,-36^® У, то Е,= = I®eh Pt = I®pt, и е, (Z) — /®е, (Z) для любого Z?3§ (Эв°)®&г
44
где а,={у+/—коммутант на & семейств = {yt (г))! г6(0, i)} с йо=31 (^). Отображение редуцированной алгебры ^г,=
