Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Белавкин В.П. -> "Стохастическое исчисление квантовых входных - выходных процессов и квантовая неразрушающая фильтрация" -> 5

Стохастическое исчисление квантовых входных - выходных процессов и квантовая неразрушающая фильтрация - Белавкин В.П.

Белавкин В.П. Стохастическое исчисление квантовых входных - выходных процессов и квантовая неразрушающая фильтрация — ВИНИТИ, 1989. — 68 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskieisledovaniya1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 14 >> Следующая

Следствие 2. Процесс Z есть эволюционное преобразование Z°= A', Z = U* (X®\)U некоторого начального оператора Z°= Х?ЗВ (Зё°) относителыо КС эволюции U, описываемой КС уравнением (2.1), если и только если он удовлетворяет КС уравнению (2.14) с d=Z®l. Процесс У есть выходной процесс относительно условно-марковской КС эволюции, определенной на алгебре фон Неймана ^0 = ^(5ё°) преобразованием Гейзенберга Zv =
— U*LvU КС генераторов Lv{t), присоединенных к алгебре •¦S^V(53®i), -S^,={К (г) | л -С порождаемой А'®!, Х?ЗВ и Уо= = {К(л)|лб(0, 1]}, если и только если он является самонеразр^-шающим: [К (л), Г(А]==0 для всех t, rgR*, и {К (л), lv(0] = 0, vr < t. Выходной КС процесс У является неразрушающим относительно Z = U* (Ar®i)?7 для произвольного Х^(Ж\ если и только если К=7®у, где y{t) есть согласованный КС процесс в пространстве Фока у.
В самом деле, если Z{t) = А'®1— постоянный согласованный процесс, то он удовлетворяет уравнению dZ = D'tdA^, соответствующему D — 0, т. е. G=Z®1. Следовательно процесс Z = U*ZU удовлетворяет уравнению (2.14) с (j = t/*Zi/®l = Z®l.
Условие [У (л), Sv (01 ^ (0— 0. * для Sv = Lv + при
произвольном Z-v (06^V(^®1) означает [К (л), Z,v(^)] = 0 при всех л</ для любого t, если У(г) = У (л) UU* (0, UU*(t) = = более того условие [У (t), АГ®1]?/(0 = 0, для произ-
вольного А'б33 {Эё0) возможно только если У (t) = / ®у (/)•
Заметим, что выходнсй КС процесс У =U*YU определен как
39
сумма начального Y (0)=.К°®1 и некоторого КС интеграла
N (С, t) = [u (t)* А (С, dr) U (t) (2.16)
о
от С (/), имеющего КС дифференциал N (С, d/) = (S*CS)vdAU. В случае коммутативности матричных элементов
ci=u*ciu,
имеющей место в случае, когда С\ — выходные процессы, напри* мер, при Са = /®с? и Zv = /?v®1. этот интеграл может быть определен как КС интеграл Ито —Хадсона —Партасарати от С:
N(C, O-JcSdWS (2.17)
относительно преобразованного квазипуассонозского процесса
/
W (о - J S?SldA$=U ,(/)*Л2 (0 и (Q, (2.18)
о
компоненты которого не обязательно являются выходными в смысле (2.18). Однако в марковском случае рас-
смотренные в качестве выходных в [11, 17] преобразованные канонические процессы N± = tl, N- = Л/_, Л^=Л^+, No=Nr где N_=(nL), jV+= (jV,+), N= {N{) определены КС интегралами
t
Ni(i) = \ {Rl®di- + RL®\dr)=Ni{t)* (2.19)
О
/
n{ (o=j {R;,rt®dii+R;,Ri®dii-+
о
+ R+lRl®di'L + R+lRJ+®dr), (2.20)
всегда удовлетворяют условию (2.8), поскольку они являются неразрушающими относительно любого эволюционного КС процесса Z(/) =[/(/) (X®l)U(t), Х*Я(Зв°).
§ 3. Стохастическая неразрушающая фильтрация квантовых процессов
Пусть Y = (Yi) —самосопряженное семейство коммутирующих выходных процессов ?(tt i)*=*Y, (t)^?(t, i*), определенных КС уравнениями
/
У V, I) - Ко (0® 1 + J ($*С (/) $)*ОД, (3.1)
о
40
которые являются неразрушающими относительно КС процессов S5 и Z.
[К, (г), 55(91-0, [Уi (г), Z(01=0, Vr<t. (3.2)
Как следует из (2.10), (2.11) для Z°=K2, G = C(jfe*) + К*®1, се-
мейство У удовлетворяет условию самонеразрушения
Wdr), У4(/)]-0, Vr, t, i, k, .(3.3)
если и только если
[I'?, К0»] - 0, [С (i), С (Л)] U = 0, (3.4)
и [У (г, 9, Су (t, А)1 U (9=0 для всех r<t, /= 1, п.
Обозначим •&1=~{У‘У редуцированную алгебру ограниченных операторов в д&, соответствующую измерениям процесса К' = = {К(г)|гб[0, вплоть до момента t, определяемую как коммутант всех Yi — U{t)*y\U(t) и ^ = коммутант в Ж0,
определяющий редуцированную начальную алгебру s&o= =38®?8(&~). Невозрастающее семейство (s&t) есть семейство максимальных подалгебр фон Неймана st-t^.st-r^st-0, t^r^O, относительно которых У есть неразрушающий векторный процесс в смысле определения Y^bst/ (или Yt(t) присоединено к si-t) данного в [4]. Абелева алгебра С, =$Lt\порождаемая семейством Y‘ с порожденным У°= {У(°®1}, формирует центр алгебры si-u следовательно, $t-t есть раз-
ложимая алгебра, имеющая условное ожидание относительно для любого нормального начального состояния на
Определение 3. Квантовым неразрушающим фильтром относительно неубывающего семейства ('??() абелевых *-под-алгебр ^,^.39{3ё) и вектора состояния называется семей-
ство (е() линейных положительных проекций е, : s4-t-+s4-i e,(Z*Z)> 0, et(et(Z)) = е« (Z),
определенных на невозрастающем семействе (s?t) максимальных редуцированных алгебр фон Неймана на абелевы
коммутанты <я?/=<?’,", для которых выполняется условие согласованности
<«p|e,(Z)(p>=<<p|Zq>>, VZ 6^,
н модулярности
e<(C*ZC)=C*e«(Z)C, VC6^(
(последнее условие вытекает [15] из положительности проекции е(, в силу которой ||е(|| = 1, причем если ‘8’,— слабо-
замкнуты, и/б®',).
Как вытекает из следующей теоремы, принцип неразрушаю-щнх измерений не только достаточен, но также необходим для
в-1 41
существования определяющих квантовый фильтр условных ожиданий на st-t относительно Мы явно построим это условное ожидание не только для ограниченных A&s&t, но также и для Z, присоединенных к .я?,=$У.
Теорема 3. Пусть есчь «-подалгебра алгебры фон
Неймана SSt на гвдьбертовом пространстве 3$, и где
— Тогда условное ожидание et как положительная проекция на = существует ка 3St относительно произвольного вектора состояния фб3@, если и только если %t коммутирует с &t: %c&t, и, следовательно, является центральной. В этом случае алгебра 3St может быть расширена до коммутанта sf, алгебры Фи так что для любого оператора Z, коммутирующего на области с условное ожидание e((Z) определено на ,я?|<р формулой
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 14 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed