Стохастическое исчисление квантовых входных - выходных процессов и квантовая неразрушающая фильтрация - Белавкин В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Следствие 1. Из формулы (1.9) вытекает формула Ито-Хадсона-Партасаратв [1], записываемая для КС процессов X
я Z с КС дифференциалами dX=B*d^ dZ=D»dK^ Х(0) = Х°®\, Г(0)=Г°®Г, (1.12)
относительно псевдопуассоновского процесса (1.9) в форме 4 (XZ) = (B*Z + XD* + B»D*)dAl=(EG — XZ® 1)^Л^, (1.13)
где F=B+-^®1, G — D+Z&1, которая вместе с «-свойством (1.10) эквивалентна (1.9).
Зто следует из поляризационных формул
з
XZ = ^l(x* + inZ)*(X* + inZ)lW‘,
i-0
3
Е Q = 2 (Е* ¦+ in°')* (Е* + 1Я°) №
i-0
согласно которым
3 3
d(XZ)= 2 d iY7*)lW = 2(F^F*-Г;Гл® 1)^A?/Ki",
i= 0 i=0
где rn=^*+/"Z, Ря = Е* + *'яО, л=0,1,2,3.
§ 2. Стохастическое исчисление квантовых выходных процессов
Пусть S = (5v)—согласованный матричный процесс с компонентами 5^(0, И» vg{ —, 0, +}, SZ==i=$+, $v = 0 при n>v, определяющими генератор L=$—/®1 изометрической КС эволюции U (t):2G->2@, U*U— I, описываемой уравнением
dU = Utidf&={US$-U%)dAl. (2.1)
Мы будем предполагать, что выполняются условия существования единственного решения этого уравнения, для чего достаточно потребовать локальную ограниченность слабо измеримых процессов АЧ, цб {—» 0}» v€{0. + }• При этом в соответствии с теоремой 7 процесс U будет изометрическим, если и только если процесс (j/®l)S=(?/.§?) есть * -изометрический матричный процесс, т. е. $(0*S(*)=/®1 для всех t, что может быть записано в виде
S*S~f, S+ + S+S+ + 5^=0,
.... (2.2)
S*S+ + S-0, 5+5+ 5~ = 0, 1
где S^Sl 5+=5+, So.
36
Рассмотрим согласованный самосопряженный процесс У, удовлетворяющий КС уравнению
dY — — У® l)vdA?, У (0) = К°®1, (2.3)
где I** = F есть ^^самосопряженный согласованный матричный процесс (??) с компонентами FZ = Y=F%, Fv = 0 при ji>v, S — изометрический матричный процесс, определяющий генератор уравнения (2.1). Без ограничения можно считать, что FSS*=F = $S*F, в противном случае F в (2.3) можно заменить на $S*f§S*.
Определение 2. КС процесс У называется неразрушающим относительно некоторого согласованного КС процесса Z, если
1У(г), ?(/)]-0, У(2.4)
называется выходным относительно КС эволюции U, если он является неразрушающим относительно КС генератора этой эволюции:
'-'[#(*). K(r)] = 0 Vr<t (2.5)
и называется самонеразрушающим, если [У (г), У(/)]=0, V г, t.
Теорема 2. Процесс У определен уравнением (2.3) как самосопряженный согласованный процесс, если и только если
t
UY = YU, К=У°®1 + jc^A^, (2.6)
о
где С = С* есть согласованный КС интегрирбванный матричный процесс, удовлетворяющий условию CyU = UCy, = —
Процесс Y есть выходной КС процесс относительно КС эволюции U, если и только если
¦UV)?(r)-Y(r)U(t)t Vr<t, (2.7)
что эквивалентно условиям
[5? (О, У (г)] ?/.(0-0, Vr<t (2.8)
относительно Sv'.SyU = U$v- Выходной КС процесс Y является неразрушающим относительно КС процесса Z, определенного условием
/
UZ^ZU, Z(/)=Zo0i-fjo^v; (2.9)
о
если и только если (У(г), Z (/)]?/(/) = 0 для всех i~^r. Последнее условие эквивалентно условиям коммутативности
[К0, Z°]=*0, [С, 0](?/®1)=-0, (2.10)
37
[Y(г), OJ(0]?/(<)-0, Vr«t (2.11)
где G = D-j-Z®l, ц<v> —.
Доказательство. Мы получим (2.3) с F^=U*F^(J из (2.6) для U, удовлетворяющего уравнению (2.1), просто применением к Y = U*YU КС формулы Ито (1.13):
d(U*rU)=($*{U*®l)F{Uei)&-U*rU8lj*dAZ. Обратно, из (2.3) и (2.1) получим
d. (UYU *) = ((U ® 1) SS*FSS* (U*® 1) - UYU *® 1
следовательно КС процесс Y =UYU*, удовлетворяющий, очевидно, условию YU = UY,. определен как КС интеграл в (2.6) cFv — UFvU* благодаря предположению SS*FSS*=/r для слабоизмеримого, слабо локально интегрируемого процесса О.
Если процессы Sv и ? удовлетворяет условию коммутативности
(2.5), то чзометрия
S
и (г, s) = / +- J и (г, t) lu (t)dAl (t) (2.12)
Г
коммутирует с У(/"). как это может быть легко доказано индуктивно относительно п=1, 2, ... для соответствующих КС Ито
сумм
П
Un(r, s)-/ + 2 Um(r-tjl»(tm)(&(tm^)-&(tm)), (2.13)
т=О
где tm=r+m(s—г)/п, N0(r, г) =1.
Следовательно, принимая во внимание, что U(t) =U(г) U(г, t), мы получим (2.7):
?/(/) Г(г-) =f/(r) К(л) t/(r, t) = Y(r)U(t).
Обратно, умножая (2.7) слева на ?/(/)*, получим условие коммутативности для У (г) и U (г, t), которое эквивалентно (2.5) благодаря аппроксимации (2.12) и согласованности Y. Следовательно, условие (2.5) в терминах Sy'4J=USy11 может быть записано в виде (2.8), ибо
Аналогично условие неразрушаемости (2.4) для выходного КС процесса Y может быть записано в виде [К(г)» Z(/) ]{/(/)= О, в терминах ZU—UZ. Представляя процесс Z, определенный в (2.9) подобно Y как решение КС уравнения
dZ=(S*G$-Z®l)fcAi, Z(0)=Z0®1, (2.14)
38
где G==D+*Z®1, и принимая во внимание формулу Ито (1.13) d(YZ) = (S*FGS-YZ®l)»dAl, (2.15)
можно легко получить, что \У1 Z] —О, т. е. \У°, Z°] = 0 и благодаря Для того, чтобы удозлетворить
условию \У (г), Z(01 =0 для всех г</, необходимо добавить условия IУ (г), Gv (01 = 0 лля Ц<+ hv> — й всех г < t вслед-стзии КС интегрального представления
Z(s)»Z(r) + J(S*GS-Z®l)^A?, s>r,
Г
и коммутативности У (г) с S(0 при г</.
Итак, [С, 6) = [1\ й] —[F®1, й]=0, что дает необходимые и достаточные условия неразрушения (2.4), которые могут быть записаны в терминах У, С, G как (2.10), (2.11) путем умножения справа на U. Теорема 2 доказана.
