Стохастическое исчисление квантовых входных - выходных процессов и квантовая неразрушающая фильтрация - Белавкин В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Л*(*)±=Л1(0*, Л*(0°- = Ао+(0*. Л*(0о+=Л°_(0*,
л*(Оо°=л2(0*
и совпадающим с ним обратным ?'1 = (?жт) с элементами g&— —0=g"\ ц, х=— или X, v=-f-, и g.+=l=g-+, ^00= 1=^°°, будем называть псевдопуассоновским КС процессом относительно вакуумного вектора состояния <p=if060.
Далее мы не будем ограничиваться случаем одномерного, квантового шума, предполагая, что основ ,ое пространство &
есть гильбертово пространство & = I®# (^^-вектор-функций g (t)?J? (t) со скалярным произведением < ?1С > = = J < 5 (<) I ? (0 ) dt. Полезно иметь ввиду случай ^Г = 24(R+-+- Ся) re-мерных столбцов | (*)=(&') (0бСя, ( ? | С > (0= I* (О Су(0. где ?*(*) = (?!>• ••> Е*)(0—строка с компонентами g* (*)=--?'(О*. При этом процессы Л+, л_—заменяются соответственно строкой Л+ = (Л+, .Л*) и столбцом Л_=(Л^) процессов Л*(<), A.L(t), у = 1, ..., я, а Л заменяется я X я— матричлым процессом
A (О= (А/)(<).
Матричный процесс Л = (Л^), ц, vg{—, 1, я, +} с компонентами л! = Л_, Ло" = Л+, Ло=Л, и Ад —0 при ц= + или v.= —, оказывается при этом самосопряженным Л* = Л относи-сительно инволюции Л* (t) = gA* (t)g, где, как обычно, Л*(^ = . = Ajl(^)*t а унитар тя эрмитова матрица g = (gv) определяется нулевыми компонентами gl = 0=g+, g% = О при ц=?^ v, за исключением g+ — l,—gt и = У — Ь • • •• л.
Всем нижеследующим формулам нетрудно также придать смысл (см. приложение) и в случае бесконечномерного X(t) =
— l2(J), для чего индексы ц, v можно рассматривать в множестве {—, /. +}, разбив одноточечный индекс {0} на п— |/| точек множества /6/ некоторой кардинальности |/|.
Пусть С = (Су) есть матричный КС процесс с операторными значениями С*{()'.Э6-*2в, ^ v?{—, У, +}, или
C+(t)-.3S-*36, С%У):Зв-*-Зв®Ся, C4-(t):Zg® Ся-*30,
C%(t):36®C.n+ где С+ = С+, Со=С~, Со = С,
. и С$=0 при ц=- +
5-1
33
или v=—, удовлетворяющий условию согласованности С(/) = = С'®1(, V/, где i, есть единица в ЯГи С' — матрица операторов в Ж. В основе КС исчисления лежит понятие КС интеграла / t
А (С, t) - f CSdAZ ее J 2 С5 (Г) rfA^ (г) (1.4)
О О H,v
относительно инкримента псевдопуассоновской меры dA (t) = = A(t-\-dt) — A(t), в котором суммирование по у, v можно ограничить на Ф -f, —. Таким образом, Л (С, t) — это сумма
t
интеграла J С+ (г) dr и трех КС интегралов
о
/ t t t J Л (С" (г), dr) = f CJdAL, -J A (C+ (г), dr)= J С^Л+
0 6 о 0
t t
J A (C(r)t dr) = J СjdA{,
о 0
существующих (см. приложение) в смысле Ито для слабо измеримых, локально КС интегрируемых операторно-значных функций /|-*-С(/).
Рассмотрим согласованный КС процесс V(t), удовлетворяющий КС дифференциальному уравнению
dY=A (F — Y® 1, dt) = (F* -У6») йГЛ», . (1.5)
t I
в смысле Y (*)=г*К°®1 -f- [ Л (С (г), dr) для всех t, где Y0—оператор в Ж, C(t) = F (t) — Y (t)®\, 1 = (6JJ), F — (F^J) — тензорный согласованный КС процесс. Таким уравнением можно определить любой КС интеграл У(*) = А(С, t), положив .К0—0, /7iJ = C*J + + K6IJ, причем FZ=K = F+; и F“ — 0 при |i>v относительно
частичного порядка +>/>— для любого /€/. В следующей теореме устанавливается формула для КС дифференциала d(Y'Y), из которой, в частности, вытекает ?-свойство
Л(С, /)*=Л(С*, t), C*(/) = gC*(/)g* (1.6)
для КС интеграла Y(t) и КС формула Ито [1]
d(XZ)=X-dZ+dX-Y+dX-dY, (1.7)
имеющая для КС интегралов X(t) =А(В, i) и Z(t) =A(D, t)
вид
t
Л (В, 0A(D, ^{(Л'Аф, dr) + A(B,fif/-)r + A(BD, dr)), (1.8)
о
34
где (BD)*J (t) —В* (t) D* (f) — произведение блочных операторов B(t).u D (t),определяющих Л (В, rf/)A(D, rf/) = A(BD, dt).
Теорема 1. Если КС процесс У удовлетворяет КС уравнению (1.5), то (У*У) (0 = Y(t)'Y(t) удовлетворяет КС уравнению d{Y*Y) = (F*F—У* У ® 1)(1.9)
устанавливающему алгебраический изоморфизм ^-операторной структуры КС дифференцируемых согласованных процессов У в ?-матричную структуру треугольно-блочных согласованных КС процессов F с компонентами /ч“=0 при и /Г.' = У=
—F++. В частности, У есть формально нормальный (самосопряженный, унитарный), если и только если [F*F]=0(F* = F,
F*=F-‘) относительно ?-операции F* = gF‘g, определяемой индефинитной матрицей g*=g=g_1 и У есть частичная изометрия (ортопроектор), если и только если FF*F=F (F*F=/<gil, F*F=F).
Доказательство. Принимая во внимание, что dY = C+dt + CodA°_ + С°.сГЛ+ -f C°0dA°0, dY* = C+*dt+C°ldA°_ + CQ*dA++C00*di\°, для = — Y {t)b*, Cv* = F** — K*6!;, получим
dY*^(F*^~Y*b^)dAl, Г*(0) = К°*®1, (1.10)
где F*=C*+y’®I, C*=gC*g. ИспЪльзуя таблицу умножения Хадсона—Партасарати [1], записываемую в терминах дифференциалов dAJ и основных процессов (1.2), определенных в (1.1), в виде
dAldAl^dAysi, Я., v^—; и, + , (1.11)
получим: d(Y*Y) = (Y + dY)* (Y -f- dY)- Y*Y=dY*Y + Y*dY -f
+ dY*dY = C*»Y + Y*C»} -f С *?C*) rfA* = ((C + Y ® 1)* (C + Y ® 1) —
— где сумму no v и ц можно распространить также и на значения v = —, |л= для которых (F*F — 1)^=
= 0. Таким образом доказано, что отображение Y>-* F, определяемое для КС дифференцируемых процессов уравнением (1.5), является гомоморфизмом относительно ассоциативной алгебраической структуры операторных процессов Y и треугольно-блочных процессов F =(F%), F^—0=F^_, F±=0, который является инъективным, поскольку если F = 0, то Fz = Y=F+—0, т. е. Y ==0. • Обратно, есл’и Y=0, то Y (t) — К(0)=0 для всех t, откуда С = =0 в силу'определения 1 КС интеграла, и, следовательно F== = У01=О. Теорема 1 доказана.
