Стохастическое исчисление квантовых входных - выходных процессов и квантовая неразрушающая фильтрация - Белавкин В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Преимущество вводимого ?-матричного представления предоставляет возможность доказать основную теорему фильтрации для произвольного выходного неразрушающего процесса путем использования индефинитной метрики для ?-алгебраической структуры Ли генераторов КС процессов. Эта статья содержит полные доказательства соответствующих результатов квантовой нелинейной фильтрации, сформулированные в [5], [14], [15]. В коммутативном случае квантовая неразрушающая фильтрация сводится к классической нелинейной фильтрации [9] и ее мартингальному обобщению [7] для соответствующих частично-наблюдаемых случайных процессов. В условно-марковских квантовых системах выведено рекурсивное стохастическое уравнение фон Неймана (для апостериорного оператора плотности) и нелинейное стохастическое уравнение Шредингера (для апостериорной волновой функции), обобщающие нелинейное стохастическое уравнение марковской фильтрации Страто-
30
новияа в'форме Ито [9] как для диффузионных, так и для скачкообразных процессов наблюдения!
Показано, что эти нелинейные уравнения могут быть сведены к линейным для ненормированного оператора плотности или волновой функции, причем линейное стохастическое уравнение Шредиигера, соответствующее простейшему диффузионному наблюдению, совпадает по форме с волновым стохастическим уравнением, изучавшимся Скороходом в [8]. Частные выходные процессы счета числа квантов и измерения амплитуды выходного квантового поля для случая стационарной марковской квантовой системы были получены Гардинером и Коллеттом [17] и Баркиелли [11].
§ 1. Исчисление квантовых входных процессов
Обозначим пространство векторов чистых кван-
товых состояний одномерного бозонного шума, которым является пространство Фока над гильбертовым пространством <? = =2’2(R+) квадратично-интегрируемых функций вещественной полуоси R+={/^0}. Можно рассматривать У как гильбертово пространство Г{&) =i?2(?2) квадратично-интегрируемых функций т*-*!(т) цепей t=(*i......./п), 0</t< ... </п<оо, |-с| =
= п=0, 1,2,..., со скалярным произведением <||?> =
= J ?('0*?(‘0<*т, где интеграл
во
J 2 S • • • .f / (*i............*») dt\ • • • dtn
я—0/i<...</n
берется по пространству Q всех конечных цепей т в R+ относительно естественной меры Лебега dx—dt\...dtn, где |т|=п. Следуя [8], мы будем отождествлять цепи т= (/»,..., /„) с соответствующими конечными подмножествами {/i, R+,
в частности, пустую цепь (п=0) будем обозначать как пустое подмножество 0, единичную цепь т=/ (п=1) будем отождествлять с одноточечным подмножеством {/}, причем теоретикомножественные операции над цепями понимаются как операции над соответствующими подмножествами. Мы также обозначим нормированную вакуум-функцию б0(т)=О, если тф0 и в0(т) = 1, если т=0, играющую роль вектора основного состояния в У, и будем рассматривать фоковские пространства ЗГТ* = *Г(#,'), над ортогональными подпространствами
*]}, *, = {6(г) = 0|г«}, '
как функциональные подпространства i?2(Qj), S2(?2() на подмножествах Qr = {t с (г, <]]|т|< оо}, Q<={t><} конечных цепей г<т<<, tc(f, оо) соответственно.
31
Мы часто будем также использовать тензорное разложение &'r=&'lr<3&'t ч для t> г, вытекающее из представления S’2 (О., XQ*) = S’2 (Q*) (?2/), поскольку множество Qt отрезков
T/={s6*|s>tf} цепей'т?й есть декартово произведение Q, и = для ty г в соответствии с разбиением г, —(т', xt) любой цепи хг на пару цепей г'={$€* | *>s> г} и xt — = {5бт|5>^}. В частности, &’=!Ft®SFt, где есть
гильбертово пространство на множестве цепей —т<*}
Пусть Ж* — некоторое гильбертово пространство, называемое начальным для фильтрации гильбертова тен-
зорного произведения Э6=ЭвР®ЗГх относительно вакуумного вектора 60. Основными процессами для квантового стохастического (КС) исчисления в гильбертовом пространстве 36 являются процессы уничтожения Л-=/®л_, рождения Л+ = = I®i+ и числа квантов А=1®К, плотно определяемые в 36 как операторно-значные функции от />0
t
А- (О I) (т) = J Б (т U г) dr ф,
о
А+ (0 (г|з ® S) (г) = ^ (г) I (т \ г) г|з, (1.1)
Л(/)(г|з®?)(т) = |т' |? (т)г|з, где г|зб36°, г* (Г) = \, если rKt, У(г) = 0, если r>t,
I(Г)> цепь TUr определена почти всюду (для г€т) как
_
(Tf, а т\г = тп{г}.
Заметим, что процессы Л_, Л+ и Л являются коммутативными, но не коммутирующими друг с другом мартингалами относительно фильтрации (Зё‘) и вакуумного вектора процессы Л_ и Л+ сопряжены: Л_(/)*=Л+(/) на областях
/ М!1(т)|2*<оо},
а процесс Л самосопряжен: Л’=Л, где Л*(/)=Л(/)‘ Для всех t. Введем следующие тензорные обозначения:
л±(9=//, л°-(о=л_(о, лгГ(0“А+(0, Л?(0=»Л(0, (1-2)
Л i
где 1 = 1® 1, /— единич!ый оператор в 36й, 1—единица в и будем считать, что индексы {—, 0, +} упорядочены отношением —<0<+. В этих обозначениях основные квантовые процессы могут быть алгебраически' описаны условиями, которые содержат следующее:
Определение 1. Тензорный квантовый процесс Л =
=“ (лЮд<+, образующий самосопряжен 1ые представления Л?(0=
32
= Л* (/)? алгебры Ли
-[Л?(г), Av, (<)] - Л: (г А 0 bt - At (г At) 6J (1.3)
относительно инволюции Л* (*)? — g^At (t^g**, определенной псевдометрическим тензором g = (gia)> (*€{ —,0}, Х(={0, +}
