Стохастическое исчисление квантовых входных - выходных процессов и квантовая неразрушающая фильтрация - Белавкин В.П.
Скачать (прямая ссылка):
где использовано неравенство Шварца. Таким же путем мы
получим
dx=
I С^ЛФ = f 2(со(г) Ф°(г)) (т\г) о II a 1 г?Х
т<Л
=l2nco(o<pp(r)iiW)*+
а
Ti,r,<t
+ | 2 < Со(Г|) ЧР»(Г„ Гг) I Со(г2)ф°°(г„ Га) > (т\р) dx.
P-r,u<4C*
*
=ЛII С2(г) Ф°(т, г) IIWr+
64
1 t t
+j j $ < CS(r,) Ф°°(т, r„ r^lCSWfft, г i, r2) > dxdrld.r2<i
< (II Cl g j| Ф01| (a))2 + (l| C°o ||i || Ф001| (a))2=
-(IlcSlKr^fi+s-Js-llvm
где Ф°°(т, r„ г*)-Ф(тиг,иг2) и. ЦфЯ0|Р(«)--?!||ф||2(а). Принимая во внимание, что
57 1|ф||2(а)<-е (!|ф||2(а-Ье)-[[ф|Р(а))<1||ф|р(а + е) для е>0, можно найти, что
(1+^)||ф|12(“)<7 1|ф>(а + е)--Ц:11|Ф!Р(»)<7||ф|Р(« + е), + 11фП2(^>==(1-Ь^)|1 Ф°П2(«)-<1^|-1|ФП2(а-Ье)-<
<^Цф|Р(а + 2е), если е<1. Следователь ю, благодаря неравенствам
1|ф||Ф)>1!ф|Ка + 2е)>!|ф|Ка + е)>1|ф|1(а) Для P>a + 2s, ^ожно получить
$ Л (С (г), dr) ф <\\С+ Цои + гД- (II Со IIS’ + II Cl |1^)-+ о У е
?
8
+Tllc!ilS>.
если (IФ .Ц (J3) < 1, 0 < е < 1, что эквивалентно (П.З).
Есди матричный КС-процесс C*(t) есть также локально КС-
I
интегрируемый, то существует сопряженный интеграл § Д(С(г), dr),
о
определенный как в (П.2) с помощью С*:
I t
<Ф|$А(С(г), dr)x) — $ < Ф | С+ (г) х + Со (г) х°(0 > dr +
О о
-f $ < Ф°(О | С+ Н X + Со0(Г) Х°(г) > г/г-
О
/
=5 < С+{г)*ф + С+ (г)*ф°(г) I х > <//- +
О
+ $ < С^(г)*ф + с5(г)*ф°И|Х°(г) > </г= < 5л(С*(г), </г)Ф|Х ) . о о
Э-1 65
Заметим, что если Су(0 ограничены на Ж—Э&(1) для всех <» то сопряженный процесс С* (?) также ограничен:
и ||ь о Hi '=*ц colli ' Va=s>1)* следовательно, сопряженный интеграл для такой локально интегрируемой С существует как непрерывный оператор 0^1+2е, имеющий ту же оцен-
ку (П.З) для « = 1.
Следствие. Если C(t) есть простая интегрируемая функция, то КС-интеграл (П.2) совпадает с интегральной суммой Ито относительно основных процессов (1.1). Более этого, КС-интеграл (П.2) есть предел таких интегральных сумм в индуктивной операторной топологии, определяемой нормами (П.3)„ если локально КС-интегрируемый матричный процесс С может быть однородно аппроксимирован последовательностью простых операторнозначных процессов относительно соответствующих ^Р-норм на [0, *].
1. Белавкин В. П. Операционный подход в теории квантовых случайных процессов измерения и управления // Тр. VIII Всес. конф. теории кодирования и передачи информации. 1978.— Ч. I.— М.— Вильнюс, 1978.—
С. 23—28.
2. — Квантовая фильтрация марковских сигналов на фоне белых квантовых шумов II Радиотехника и электроника.— 1980, 25, № 7.— С. 1445— 1453.
3. — К теории управления квантовыми наблюдаемыми процессами // Автомат. и телемех.— 1983.— № 2.— С. 50—63. (РЖМат, 1983, 7В344)
4. — Теорема реконструкции для квантового случайного процесса // Теор. и мат. физ.— 1985,— 62, № 3,— С. 409—431. (РЖМат, 1985, 7В39П
5. — Нелинейная фильтрация квантовых непрерывных сигналов // Тр. IX Всес. конф. по теории кодирования и передачи информации.— 1988.— Ч. II — Одесса, 1983.— С. 342—345.
6. Брагинский В. Б., Воронцов Ю. И., Холили Ф. И. Квантовые свойства пондеромоторного измерения электромагнитной энергии // ЖТЭФ— 1977.
— 73 — С. 1340—1343.
7. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов.— М.: Наука, 1974.
8. Скороход А. В. Операторные стохастические дифференциальные уравнения и стохастические полугруппы // Успехи мат. наук.— 1982.— 37, № 6.
— С. 157—183. (РЖМат, 1983, 7В108)
9. Стратонович P. J1. Условные марковские процессы и нх приложения к оптимальному управлению.—М.: МГУ, 1966. (РЖМат, 1967, 8В167К)
10. Холево А. С. О принципе квантовых неразрушающих измерений // Теор. и мат. физика.— 1985.— 65, № 3.— С. 415—422.
11. Barchielli A. Input and output channels in quantum systems and quantum stochastic differential equations. / In: Proceedings, Obelwolf 1987 «Quantum Probab. and Appl. III», ed. L. Accardi, W. von Waldenfels, Springer—Ver-lag, Berlin—Heidelberg—New York—Paris—Tokyo.— C. 37—51
12. Belavkin V. P. Optimal measurement and control in quantum dynamical systems. / Preprint № 411, 1979, Inst, phz., Uniwersytet Mikolaja Koperni-ca, Torun.
ЛИТЕРАТУРА
66
13. — Nondemolition measurement and control in quantum dynamical systems. In: Proceedings of CISM, Udine 1985 «Information complexity and control in quantum physics» / Ed. A. Blaquiere, S. iDner, G. Loshak, Springer— Verlag, Wien—New York.— 1987,— C. 311—336.
14. — Nondemolition stochastic calculus, nonlinear filtering and optimal control in open quantum systems. In: Stochastic methods in mathematics and physics. Proc. of XXIV Karpacz winter school, 1988, World Scientific, Singapore—New Jersey—London—Hong Kong.
15. — Nondemolition measurements, nonlinear filtering and dynamic programming of quantum stochastic processes. Proceedings 1NRIA, Sophia—Anti-polis 1988 «Bellman continuum», Springer—Verlag 1988
16. Davies E. B., Lewis I. T. An operational approach to quantum probability // Commun. Math. Phys.— 1970— 17, № 3.— C. 239—260. РЖМат, 1971, 2Б856.
17. Gardiner C. W., Collett М. I. Input and output in damped quantum systems: quantum statistical differential equations and the master equation // Phys. Rev.— 1985.— A31 — C. 3761—3774.
