Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Белавкин В.П. -> "Стохастическое исчисление квантовых входных - выходных процессов и квантовая неразрушающая фильтрация" -> 12

Стохастическое исчисление квантовых входных - выходных процессов и квантовая неразрушающая фильтрация - Белавкин В.П.

Белавкин В.П. Стохастическое исчисление квантовых входных - выходных процессов и квантовая неразрушающая фильтрация — ВИНИТИ, 1989. — 68 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskieisledovaniya1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 .. 14 >> Следующая

лять с помощью вакуумного состояния й06^" по формуле
<Фн2(/)ф,>= {60\v(t)mZ (t)k(t)b0) -
- <ф(*)б0|<г(*)ф(*)в0 >,
в чем нетрудно убедиться, сравнивая уравнение (2.1) для Фf = U (<)^®в0 и совпадающее с ним в случае (5.23) уравнение (5.21) для Ф (0 б0, представляющее ф, в виде Ф (/) б0. В силу совпадающих начальных услозий фа=ф(0) 60 = \{>®б0 и произвольности Z (t) это означает, что p (t)= | с (t) р, рпределяемое нормировочной функцией с(/), Ф«=с(/)ф(/)б,а, есть плотность p(t)?3? x (Q‘) вероятностной меры, индуцируемой в со-
стоянием фг относительно произведения пуассоновской и вине-ровской мер, индуцируемых вакуумным состоянием 6 на а/.
€0
Приложение. Квантовый стохастический интеграл
Пусть Ж^36°®У— гильбертово тензорное произведение начального Зв° и фоковского У =* J eX(x)dr гильбертовых пространств, где Х(х )=®Д?(0. т= (ti,...,tn)—произвольная
финитная цепь из R+, и X(t)—произвольное
гильбертово пространство, обычно отождествляемое с некоторым X для всех /€R+. Предполагая, что в X задан некоторый базис, индексируемый множеством У, рассмотрим определение квантового стохастического интеграла / о'Л(С(г), dr) относительно основного процесса Л= (Л/) для матричного слабоизмеримого по t квантового процесса C(t) = (С/) (t), ц, v€ €{—, У, +} в 36. В случае одноточечного У={0} этот интеграл определен Хадсоном и Партасарати [14] как сумма
tt I
J Л (С (г), dr) = J (C+dr + Со dA_ -j- C+rfA++ CldA) = f CUK 0 0 0 + t
лебегова интеграла J C+ (r)dr и интефалов Ито | CodA^, t t
C\dA+, j CldA в слабом смысле.
I
о
Мы докажем, чтот этот интеграл в общем случае может быть описан как непрерывный оператор 36 (<х>)-*-Зв (\) ^36 на проективном пределе 3@(оо) =(\Эё(a), 36(a) =3<Р®&~ (а) фо-
а>0
ковских пространств У (а) = } °Х(х) \a\wdx, определяемых скалярными произведениями
< ф|Х > (“)=* JI® !|т| < Ф(т)|х(т) > dx, ф, %?Х(т). (П.1)
Мы будем говорить, что слабоизмеримая матричная функция (t) локально КС-интегрируема, если ее компоненты Cv локально ^-интегрируемы для соответствующего р— 1,2, со как операторнозначные функции
C+(t):38 (оо)->3? i|C;(-)lliV<oo (р= 1) C%(t):3e(oo)^3e®X(t) II (-)IILV < оо (р—2) Co(t):36 (оо)®ЯГ(*)-Зе, ||С0~(-)11а')<оо (/> = 2)
Cl(ty.36(oo)®X(t)-+36®X(t\ !|Co(-)lla*)<w (Р= 00)
с определяемыми ниже нормами:
/
!IC+||a/=^ IIС + (г)|| adr, il Соli a7)==ess sup “Со (О Г,
О '<•
61
il C+ II a = sup {II c+ФII/ ;| ф If (a)}, II Coll.— sup {II С$Ф?||/|| Ф?|| (0)1.
Здесь 96Л»(сс), ||<р||!(«>— < ф|'Р ) (a), q?6Jg(a)eJr(*), ||Ф?||*(®)—
-<ф?|ф?>(«), a l|C0+||S’-||C$.i|:, ||Со-IIй>_ПС„-Иi—это нормы операторов
С\\Ж(а)Эв®ЭС\ (С+ф) (г)-С°+ (г)ф, г€[0, t],
t
Со-Зё (а)®ДГ' -у Ж, Со_ф°= | Со" (г) <p°(r) dr, вычисляемые с помощью ^-интегралов
I! с" II S’ - (JII ¦cl w || i</r У" - И cf II S’. !! с.-1| 2> - f | II cn M || Ur J" - II с Г' II 2>.
где Са:5^(оо)-^-,3^ определяется для всех ФбЗ^(оо), как
< С1ф|х > — < Я>|Сх« > (at/2), Ха(тНх(т)/а|т|/2.
Следующая теорема доказывает равномерную непрерывность КС интеграла для интегрируемой С как оператора ^(оо)-»^, действующего по формуле
^ j Л (С (г), dr) ф^ (т)=* J (С+ (г) ф+ Со~ф°(г)) (т) dr +
г«
+ 2 (С°+(г)ф + С?(л)фО(г))(г\г), (п.2)
гбт
где Ф°(/)е<3^(оо)®Х(/) определяется почти всюду (при $т) как тензорная функция <р°(т, /) =<p(rUO-
Теорема. Пусть С(/) есть локально QS-интегрируемая функция, т. е. для любого />О существует аХ) такое, что
II с? №><«., l|cilis><», ||Co-||S><=. ||csilir’<«.
Тогда КС интеграл (П.2) определен на 36(<х>) как непрерывный оператор в Жл причем
для р>а+2е и достаточно малого е>0 (е<1). Более того, сопряженный интеграл
t
Ч
< Л(С(г),</г)*ф|х >- <Ф
j Л (С (г), dr)% ). (П.4)
Ф, х€3?(«>). t
также определен на 36 (оо)сЗб как КС-интеграл j А (С* (г), dr),
о
если функция C*(*)=gC(*)*g,
С* (/)+ = С+ (О*, С* (0+—Со" (<)*, С* №=С°+ (0*.
с*(00°=с?(0*
является локально КС-интегрируемой.
Доказательство. Для того, чтобы показать непрерывность интеграла (П.2) в проективной топологии П 36 (а), следует
а>0
доказать, что t
j Л (С П dr)< с II ч» II (Р), IIФII (Р)= < ФIФ ) (Р),/2 о
дл.я любого ф€3?ф) и некоторого р>0, с>0. Вследствие определения (П.2)
II II
j А (С, dr) < j C+drq> + j CvdAjp
+11 j* Cod A. I!,
+ j C°+dA+q>
+
где
r I
J С^6?Л_ф=| Co (r)<f°(r)dr,
(j C°+rfA>)(т)=2 (C+ (г)ф)(т\г),
¦(i
rtt
r<t
C°odA<( (т)=2с?(г)ф°(г) (т\г).
/ fgT
Первые два интеграла в (П.2) могут быть легко оценены как
t t t
j C+ydr < j || C+ (г) ФII dr < j IIC+ (r) Ijadr || ф II (r)=
0 0 0
== il C+ l|«V IIФ || (a).
63
It
J
Co rfA_ф
,1/2
Co-V ||* <J| Co ||i || Ф0 II (a) -1| Co" №>(? IIФ |P(a)) где мы приняли во внимание, что
IWP <«) - Я «™ II РЛЛ-JIЧ »™-' II ф(г) ||>Л-
-s-IWPW-
Для того, чтобы оценить интегралы от С°. и найдем
t r<t ||2
jc°rfA*4>|p-J 2(С0+(Оф)(<\г)| dx~
r<t
-12||С!}.(Оф|Р(»\г)Л+
а гф
ri.r»«
+j 2 <С0+(г1)Ф0(г1)|Со+(г2)Ф°(г1)>(г\р)Л-
а p-r,uf.C<
t
-ДО||с*+И*М1*а+
t t
+ S И < С+(Г«)<Р°(Т- '2)1 C°+(r2)Ф°(Т, rj)) dxdrxdr%<
0 00
<(ll C+lli jjфII(a))2 + (IIC°+ Hi IIф°II(a))3-= ( И C+ lia/’)* (l +Д5-) II ф II1 (a)*
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 .. 14 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed