Стохастическое исчисление квантовых входных - выходных процессов и квантовая неразрушающая фильтрация - Белавкин В.П.
Скачать (прямая ссылка):
w(dt, t)=dq(t, i)= 1 (f (t, i), dt) -= dq(t,i)~ (L*(i)+L(i) )(t)dt, где учтено, что в соответствии с (5.10)
«V = 5+eS++S+e++в'5++ё+==
S%f++ /~S++ f+=*L + L*
при
e-е^е-^/*, eS+='e--f*f, *=S+ + /®/, /+=е, /?=/;*, L~e*S++I®f+/2.
Уравнение для апостериорной матрицы плотности р находится с помощью двойственности (5.7) и линейности уравнения (5.17) по Z€#®a(':
< р, K'Z+ZK-R*ZR > - < р/«Г*+/(Гр-/?'рЯ*у >, <i,R*ZR)~<R*ZR)-<RmR) (Z) =
- </Wy-p|r|2,Z>,
57
<p, L*Z+ZL) — (L*Z+ZL) - { L*+L ) <Z>=
= <p?* + ?p-2Re7,Z>,
где \~r |2= {p, R*R ) , 2Re/= <J>, L + L* > в соответствии
с < Z > = < p, Z >, Z=Z —/®<p, Z>. Это дает искомое уравнение для р в интегральном виде (5.12) р обозначениях (5.1!) и (5.13).
Найдем соответствующее линейное уравнение для ненормированной апостериорной матрицы плотности р(ОвР(0» предполагая, что р(/)6й/ удовлетворяет стохастическому уравнению
т т
dp^(s(i)-\)k(dt, /)+2 b(i)w(dt, I), (5.18)
i-1 <»= i
где 5(х)ба;, &(-*)€<*;, r(jc)6a;, )(x)ea't, x=(t,i),
m(dt)=dh(t)—\r(t)\*dtt w(dt) = dq(t)-2Rel(t). (5.19)
Используя формулу Ито dp = pdp-\-pdp+dpdp, ортогональность стохастических дифференциалов, правило умножения
m(di)m(dt)=d‘n(t), w(dt)w(dt)=dti,
и каммутативность p(t)=I®p(t) с р(06-#*®а', получим, шуская суммирование по i
dp=(sFJpF* — р )т (dt)+(Z.p+ pZ* + bp) w (d/)+
+(^р^+(^'р>;-р)(5кр-|Я'р)+ + (Zp+pZ*)(*-2Re(/-/)-A'p-pA'*)d/.
Полагая s(jc)=|r(jcj/r(jc)|2, ft(jc)=»2Re(/(jc)—l(x)), получаем линейное стохастическое уравнение:
т
dp+(Ki>+i>K*-R<pR)) dt- 2 w p^* (о - p) 'm w, o+
;-i
+(Z(/)p+pZ*(0)®№.0). (5.20)
где / (t)=# (l)/r(t), Z (i) = Z. (/)—/®l (/), имеющее с начальным р(0)=р®1 интегральный вид (5.12) с соответствующей заменой
— — Л, определяемой не зависящими от р, в общем случае стохастическими, коэффициентами г (i) и l(i).
Предположим теперь, что размерность ортопроекторов е (ш', i), определяющих e(t, i)(co) = p(co')®e(m'. 0 не превышает единицы при /=5^=0, а при / = 0 равна почти всюду размерности ортонор миров анного семейства (et (о)')}, определяющего et (г‘)(со) =
58
= р((о')®е1 ((o'). В этом случае в ортонормированием базисе
т
{в}((О')} пространства е(<л‘)Х, e='^)e(i), определяемом усло-
вием е(и>‘, i)eJ(u>,)=Ь\е}(а1) для всех /€•/+(<»/) = {i je(af, i)=j=0} имеем: R> (i)—е (?) R< = b{ . Это поззоляет не вести суммирование цервого слагаемого в правой части уравнения (5.19) по у, полагая j.= i в соответствии с F{ = b{ F1, Fj=R> I г (J).
Будем искать решение этого уравнения в виде р —фф*, где ф удовлетворяет некоторому стохастическому уравнению
М
dk + kkdt^^(S(i)m(dt,i) + L(i)w(dt, ?))Ф (5-21)
i-i
с начальным ф(0) = \|>®1, соответствующим р==ф\р*. Используя
формулу Ито d (фф*) = ^фф*+Ф^Ф* + dqdy*, а также ортогональность стохастических дифференциалов (5.19), имеющих квадраты
m(dt) т (dt) — ht (<//)-f|r(/)|2tf/, w{dt)w(dt)—dt\,
получим, обозначив R=rS и опуская индексы суммирования
dp + (Kp+pk*-RpR*-~LpL*)dt =
= (SpS* + Sp + pS*) in (dt) + (?p+ p2.*) ® (dt).
Это уравнение для р = фф* можно привести к виду ^5.19), если положить
S = F — I, К = K— 'r*R — t*L-\-(\r |2+ |2)®//2,
и учесть, что в соответствии с условием полноты ортонормиро-ванной системы {е,(со*)} в е(0, т1)Х, выбираемой в качестве базиса ||/(?/+(о)*)}- этого подпространства, L(i)=R*(0), в
результате чего
т
2 w*+21 (о f>L (о- 2 я№+ 2 /??р/?т=2 w?-/?/+ /-1 ig/+ /(?/+ <?/
Наконец, получим из линейного уравнения (5.21), не сохраняющего, вообщего говоря, нормировку <р, нелинейное стохастическое волновое уравнение для нормированного ф(/) = Ф(*)/С(0> где с(/)ба/ удовлетворяет стохастическому уравнению
т
dc+kcdt==‘^(((r(i) — \)m(dt,i) + l(i)w(dt,i))c, (5.22) i-i .
коэффициенты которого находятся из условия | с (t) |2=| ф(^) |2= == ф (*)*ф (/). Используя формулу Ито, получим для \с\2 — р
уравнение
dp=*(\r?-\)pm(dt)+ 2Relpw(dt)+(| r f+\lf — k)dt, сравнение которого с (5.18) дает
i г (JC) р - * (л:), 2Re/(je)=* (х), *(*)-j г (х) |2 + |/ (х) р. Отсюда, с учетом найденного вида фулкций s и 6, отвечающих за нормирозку р=р 1р, получим г (х)=*г(х)Гг (х), 1(х)—Цх)—
— Цх) с точностью до несущественных Arg г и 1т/, которые можно положить нулю в силу произвола гф0 и I. Это дает искомое уравнение для ф в виде (5.21) с соответствующей заменой Др-»-~, где коэффщиенты К, S, L определяются по функциям г, 7 определенным в (5.16) с точностью до фазового произвола ф. Теорема 5 доказана.
Замечание 5. Пусть ё^_(х)Ф0 почти всюду, и
} г (jc) j2=ё- (х), 2T}ef(x)=- /~+{х). (5.23)
Тогда линейные уравнения (5.19), (5.20) с нормированными на единицу начальными данными определяют апостериорные оператор плотности р(/) (©) =р(©‘) и вектор состояния <р(/)(ю) = =ф(©0. нормированные на плотность вероятности р(/)(ю) = —р(<о‘) наблюдаемых траекторий й>‘б?2* винеровского w и пу-ассоновского т мартингалов в пространстве Фока на отрезке [0, /] относительно вакуумного вектора состояния би.
В самом деле, процессы (5.19) при условии (5.23) определяются как X (С, /) с матрицами С, имеющими нулевые элементы С+(;с) = 0, й, следовательно, язляются мартингалами в Т относительно вакуум-вектора ,в0. Это означает, что априорное среднее значение от Z(t)— X®z(t), где г можно вычис-
