Стохастическое исчисление квантовых входных - выходных процессов и квантовая неразрушающая фильтрация - Белавкин В.П.
Скачать (прямая ссылка):
е (0—1 Oe(i) /, , f (0=10 0 et ). (5.10)
\0 0 0 / \0 0 0 /
Здесь ё(0*=ё(0==ё(02—ортогона>дьные проекторы в
— e+(i)= /*/,, благодаря чему ё(С) — ^-самосопряжен-
ные идемпотенты, е(, i=* 1,..т — ортогслал^нбе изометрии 3F, eiel^=\ либо нулевые е*е/=0; е(0)ё1 = е/, Vj, где
т
ё(0) = 1 ® 1 — 2ёСО, и f+(0* = i+ (0. благодаря чему 1(0*=НО*
Это не является ограничением общности, поскольку существует а' — линейное преобразование стохастических дифференциалов
dy(t) самосопряженного семейства y(t) = {y(t, 0} к каноническому* виду (5.9), разделяющему скачкообразные n{t) и непрерывные <7(0 составляющие процессов у ((). Более того, в соответствии с предположением (Оба) (или c$(t) присоединены к а'), благодаря которому коммутирующие операторы с?(0 отождествляются с измеримыми функциями (со') на Q', цатричные элемеиты
т
в (5.10) определяются ортогональными разложениями 1 =* 2 g (од*. Q.
(-1
e(w‘, i)=e(t, 0(®). единичного оператора в X и ортогональными семействами векторов {еДю*), /Дсо'), /=*1,.... т), где el(at)=m = <?;(0(w)—либо нормированы иа единицу, либо нулевые векторы, а |/Дю')12 — е~(ы‘, 0, причем условию локальной КС-интегри-руемости е(() и /(0 отвечает локальная ^-интегрируемость /+(0(w) =/+(<“') и локальная ^-интегрируемость / (0(ш)“ = / (w<) по t (для почти всех аЦф')-
54
Введем следующие операторы, используемые в теореме 5: /Г=»Я+/?*/?/2, ' Я = 1ш(/*5+—5+), /? = 5++/®/,
т
i — 0, 1.........т, (5.11)
<-о
L(?) = e]R, ? = 1,..., т,
т т
где /„=2^(0/2, е(0)=\ — е, ё=2 e(t). Выберем в прр-i-1 i=i
странстве # ортон ормированные базисы {еу (cl»/)}cz: JSf, убЛ совме-
т
стимые при каждом ©gQ' с разложением единицы 1 = е (со/, i)
j-0
в смысле е (to*, t)e, (©') = ?/(“О* если у'бУ, (ш') и равняется нулю,
т
если У<?Л(Ш<) для некоторого разбиения У = 2‘^(<0<)> причем
в случае, когда dimе(а‘, /)< 1 для всех i=\,...,n, выберем нумерацию убУ этого базиса таким образом, что /;(о)') = {?}-Напомним, что Rj, R*:36°-y 33° означают компоненты сопряженных операторов R:3e~+36®3C, R*\#6®X->36 в ортонормирован-ном базисе X и RjR'l — S RJR*; есть тензорное обозначение
свертки.
Теорема 5. Оператор плотности р(/) , апостериорного состояния квантовой условно-марковской системы над <%=<%(3б°) удовлетворяет относительно неразрушающего наблюдения процессов (5.9) почти всюду диссипативному стохастическому рекурсивному уравнению /
Р (0 + f (* Р+ рК* - RjpRj) (г) dr = Р® 1 +
0
i т
+j 2 W W — Р) И т (dr, 1)+
+ (Г(О Р+ РL* (/)) (г) w (dr, 0), (5.12)
где
F(i)-R(i)/7(i), I (i)=L(i)-F(i),
|гС*)12- <Р(t),RWR№); 2ReZ(х)= Ср(№{х)+М*)Т, m(dt)—dn(t) — \ г (t)\2 dt, w(dt) = dq(t) — 2Rel(t)dt. (5.13
Интегро-дифференциальное нелинейное уравнение (5.12) сводится перенормировкой р(<) = /7(0р(0 к линейному операторному урав
55
нению Ито такого же самого вида, что и (5.12) для р, где вместо
F, L, ту w следует подставить F, L, тп, w, определяемые по формулам (5.13) произвольными г(х), ! (х)б а' {г (&) ф 0 почти всюду) вместо определенных с точностью до фаз*.! hrgr(x) и мнимой части Im/(jc) функций г(х), 1{х) от р. Если dim е (o', /)< 1, и dime((i>', 0)=dim{e, (ш')} почти
всюду на ?2', то уравнение (5.12) допускает векторное решение р (^) = ф (^)ф (t)*, соответствующее чистому начальному состоянию р = 11)113*, где ф удовлетворяет диссипативному стохастическому рекурсивному уравнению
t
Ф (0 + J К (г) Ф (0 dr= 1)з® i 4-
о
( m
+ [ 2(^ (x)m(dx)+L(x)w(dx))q>(r), (5.14)
o i-i ¦
m
K^LH+У, (R*R±L*L)(i)/2,
./—1
m
Я = Я - 2 Im (r*R + ~t*L) (9. (5-15)
R{i)=Rl-I®7(i), S(i)~R(i)l{I®r(i)). Интегро-дифференциальное нелинейное уравнение (5.15) сводится перенормировкой ф (t) = c к линейному волновому
уравнению Ито такого же вида для ф, где вместо тп, w, L, следует подставить, как и ранее пъ, w, L, а вместо К, R, S под* ставить операторы К, R, S, определяемые по таким же формулам (5.15) произвольными не зависящими от <р стохастическими функциями г (х)=?0, 1(х). Вместо г(х), Т\х),
|> (*) |2- Ф(0*/?(*)* Я 1*)Ф(*).
1(х) +Т(л)* = ф(0* (L (*) + L* М)ф(0- (5.16)
Доказательство. Подставляя в (5.5) вместо с(i) матрицы e(i), f(i) вида (5.10), получим с учетом условий их ортогональности, идемпотентности е и нормированности f:
< SV5; > ё» (0 ev (0 k(i)=* < R* (i) /?.(*> > * (0 - ? W.
< 5^5;) /»(/) A(0(0.
где R (i) =» ev (i) Sv+ = e (i) S+ +19/, - e (t) 7®/) - e (i)R, R
и / шределены в (5.11). Обозначая < R* (i) R (i) ) = [ г (i) |2,
56
и учитывая, что почти всюду |г(01=?0 как квадрат некоторого г”(?)6а), получим решения системы (5.5)
k(i)-e(0/r(0. k(0=*(0,
приводящее уравнение фильтрации (5.4) к виду
d(Z)(i)+(K*Z+ZK-R*ZR)(t)dt =
т
=2 <я* w (о > <*> * <**• ¦ о/г (о+
i-i
т
+ 2 { L*d)Z + ZL{i) > (*)Й»(Л, о, (5.17) i-i
где K=iH-\-R*R/2 определяется в (5.11) по R—S++I®/ из условия .
S*7ZS+ - S+*Z+ZS++S'+ZS+=*R*ZR—K*Z - ZK,
a
^(0=/"(05++/®/;(0/2=»^(5++/®/)=e*/?.
В (5.17) /я, ®—мартингалы у относительно порождаемой процессами л и q фильтрации (S',, Ф) с векторами состояния ф, = =» U (t) ф®б0 в картине Шредингера:
m(dtt i)=*dn(t, i), dt)=dn(t, i)- < R*e(i)R > (t)dty
