Законы механики. Курс физики для учащихся физико-математических школ - Бченков Е.И.
ISBN 5-88119-120-Х
Скачать (прямая ссылка):
Из рис.1 видно, что r=OM = OMt +МЧ,М. Если направле-
ние оси ОХ задать вектором i, длина которого равна единице, направление оси OY - единичным вектором j, направление оси OZ - единичным вектором к, то ОМг = ix, = jy, М^М = kz и
г = ix + jy + kz (2)
Такая запись радиуса-вектора называется записью в координатной форме, а х, у, z называют декартовыми координатами радиуса-вектора. Это частный случай задания вектора.
Представление вектора в декартовых координатах единственно, т.к. проекции его на оси координат ах, Оу, а,* определены единственным образом. Поэтому векторное равенство а = b эквивалентно трем скалярным равенствам
~Ьу, 02 — 62 (3)
Выбор системы координат для записи векторного равенства в виде системы скалярных равенств определяется соображениями удобства этой системы для рассматриваемой конкретной физической задачи, но само векторное равенство, естественно, от такого выбора никак не зависит. В этом и состоит преимущество использования векторных величин для записи физических закономерностей.
Из теоремы Пифагора следует, что
• = -jaf-
При движении тела положение его в пространстве меняется. Это значит, что радиус-вектор положения тела зависит от времени, что записывают в виде г = г(г) и говорят, что г есть функция времени. Задание одной векторной функции времени эквивалентно заданию трех скалярных функций времени. В декартовых координатах это {x(t),y(t), z(?)}, в сферических {r(l), т, ait)}, в цилиндрических {г(0, z(t), a(t)} и т.д.
Соединим все точки пространства, в которых находилось тело при движении линией. Эта линия называется траекторией движения тела. Если при движении тело переместилось из точки А в точку В, то будем называть перемещением тела вектор Дг = АВ = ОВ-ОА (рис.5). Этот вектор, вообще го-Рис.5. Перемещение воря, не совпадает с участком траектории, который прошло тело в своем движении. Но достаточно малые перемещения могут быть сколь угодно близки к криволинейной дужке АВ траектории, причем, чем меньше перемещение, тем ближе хорда АВ к дужке АВ. В пределе бесконечно малых перемещений направление вектора перемещения совпадет с направлением касательной к траектории. Таким образом, задание траектории движения позволяет путем построения касательной определять направление движения в каждой точке траектории.
16
ДВИЖЕНИЕ
Траектория - это след движения тела, и как всякий след она дает информацию о направлении движения, но ничего не говорит о времени, когда тело находилось в той или иной точке траектории. Характер движения во времени будем описывать длиной участка траектории, пройденного телом от начального момента времени к моменту г, и будем называть его путем тела.
Зависимость пути от времени можно изобразить на графике, откладывая по оси абсцисс время, а по оси ординат путь. На рис.6 приведен пример графика пути. В начальный момент тело находилось на расстоянии So от начальной точки на траектории и двигалось по направлению к ней. К моменту времени и тело приблизилось к начальной точке на
h f2 минимальное расстояние и сменило направление
„ „ „ движения. В момент t2 тело находилось на том же
гис.о Зависимость
пути от времени расстоянии от начальной точки траектории, что и в
момент начала движения, и продолжало удаляться от нее. Знание траектории и пути тела дает полную информацию о его движении.
Скорость
Движение материальной точки характеризует скорость. При равномерном движении скорость просто равна пути, пройденному телом за единицу времени. В общем случае скорость есть предельное значение отношения малого перемещения Лг к соответствующему малому отрезку времени At, в течение которого произошло перемещение Дг, при Д?-*0. Записывают это в виде
. Дг dr v = lim — = — з г
д<-»0 At dt w)
и называют такой предел производной от г по t. Нетрудно видеть, что скорость - векторная величина, направление которой совпадает с направлением касательной к траектории тела. Для уяснения смысла величины скорости рассмотрим часть графика пути, соответствующую движению от момента времени t до t + At (рис.7).
Величина перемещения за промежуток времени At изображается отрезком AS, а отношение AS/At представляет собой тангенс угла наклона секущей, проведенной через рассматриваемые точки графика пути. При Дг-М) секущая вырождается в касательную к графику пути в момент времени t, и величина скорости
v = tga , (6)
где а - угол наклона касательной к графику пути. Так как Дг = iAj: + ]Ау + кДг, то
dr ,dx ,dy , dz
— = v = 1-Г- +j—-i-к—, n\
dt dt dt dt (')
и составляющие вектора скорости по осям координат
dx dy dz (8)
vx=~T’ Vv=~r> uz=-~r> dt y dt dt
17
ГЛАВА»
5 S+AS ?
s f AS
/t 6t
/е\!а\ t t+&l
Рис.7. Определение величины скорости по графику зависимости пути от времени.
Итак, если движение задано, т.е. если задана траектория и путь в зависимости от времени, то, построив касательную к траектории, можно узнать направление скорости, а по тангенсу угла наклона касательной к графику пути найти величину скорости. Следует подчеркнуть, что направления векторов v и г не совпадают.
Поставим обратную задачу: по известной зависимости скорости от времени найти путь, пройденный телом, и определить траекторию. Рассмотрим сначала прямолинейное движение тела. Пусть зависимость v(t) задана графиком (рис.8). Разобьем интервал времени от 0 до t на п малых интервалов ДU и предположим, что на каждом из этих интервалов скорость постоянная, т.е. заменим график скорости показанной на рисунке ломаной. Легко видеть, что за интервал времени AU тело пройдет отрезок пути Asi=v(ti)Ati. Геометрически это произведение представляет площадь заштрихованного на рис.8 прямоугольника. Путь, пройденный телом к моменту t при скорости, изменение которой задано ломаной линией, представится как сумма путей, проходимых телом на каждом интервале времени:
