Законы механики. Курс физики для учащихся физико-математических школ - Бченков Е.И.
ISBN 5-88119-120-Х
Скачать (прямая ссылка):
---------- /"“Л Более отчетливо это видно на
Сг.................е )(> рис. 18, где приведены графики траек-
торий отдельной жидкой частицы на поверхности, на 1/4, 1/2 и 3/4 глубины бассейна и на дне. Чем длиннее волна, тем более вытянута траектория частицы и тем сильнее эта вытянутость проявляется при углублении в жидкость. На дне траектория частицы - горизонтальный отрезок, вдоль которого частица совершает гармонические колебания.
Для короткой волны эллипс превращается в окружность, радиус которой уменьшается в e2it раз при заглублении всего на одну длину волны.
Тот факт, что собственные траектории частиц жидкости перестали быть окружностями имеет глубокие последствия, главное из которых заключается в том, что давление перестало быть постоянным на линии тока и вдоль нее появились перепады давления, вызывающие в длинной волне преимущественное движение частиц по горизонтали при малых переме-
сг
О
<о
о
Рис.18.Траектории частиц жидкости на поверхности, на глубине 0.25h, 0.5h, O.ISh и на дне для волн длиной 2h,hu 0.5 h.
151
ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
щениях в вертикальном направлении. Действуя аналогично с предыдущим разделом, можно увидеть, что исключить зависимость давления от времени можно лишь, положив обе амплитуды о и b в сконструированном решении просто равными нулю. Это значит, что все результаты настоящего раздела можно с очень большой осмотрительностью отнести лишь к волнам очень малой амплитуды.
Чтобы найти зависимость скорости волны от длины волны и глубины бассейна, поступим следующим образом. Продифференцировав координаты частицы на свободной поверхности по времени, можно найти компоненты скорости этой частицы в некоторый момент времени
их = c-a0(l + e3*A)a>sina>t, vy = a0(l-e2*A)oo cosoot. (47)
Удобно во всех дальнейших формулах явно записать знак минус перед глубиной бассейна, т.е. с настоящего момента символ h воспринимать как абсолютное значение глубины. Воспользуемся формулами (47), чтобы найти скорость потока жидкости на гребне волны и во впадине. Вертикальная компонента скорости в этих точках обращается в нуль. Горизонтальная на гребне меньше скорости потока и оказывается равной и+ = c-a„(l + e~2**), во впадине - больше скорости потока и равна и_ =c + a0(l + e~2**). Перемещение по вертикали от гребня до впадины составит 2a0(l-e~2kh). Из уравнения Бернулли для этих двух точек на свободной поверхности следует
Далее с помощью соотношения (37) находим скорость волны в бассейне конечной глубины
На рис.19 приведен график зависимости отношения скорости волны к
ul -«? = 4ga0(l-е~2hh),
и для волны малой амплитуды можно получить
4ga0(l-е~2kh) = ul -ul * 2o0(l +e 2M)a>2с => coc » g
kh.
(48)
Здесь используется обозначение th/гДдля функции
(49)
Jgh от произведения kh, которое по сути представляет отношение глубины бассейна к длине волны, умноженное на 2тс.
152
ГЛАВА XI
Используя представление
е2 * (1 + г) при малых г, нетрудно получить thz » г, если z «1, и установить, что скорость распространения длинных
(?-»0) волн с = = -Jgh . Она не за-
______________________________висит ни от амплитуды, ни от длины
„ 2-5 5 7-5 10 12-5 15 волны и определяется исключительно
Рис.19. Скорость волны в зависимости _ г
от длины волны и глубины бассейна. глубинои бассейна. Для океанов со
средней глубиной 2 /см это огромная величина около 500 км/час, сравнимая со скоростью полета самолета среднего класса.
Так как thz -»1 при г =о, то для коротких волн формула (48) обращается в известный для глубокого бассейна результат (41), что абсолютно естественно.
153
1. Под каким углом к горизонту расположится поверх-. ность жидкости в сосуде, соскальзывающим с коэффициентом трения ц с наклонной плоскости, составляю-4* щей угол а с горизонтом?
2. Коническая пробка перекрывает сразу два отверстия в плоском сосуде, заполненном жидкостью при давлении р. Радиусы отверстий г и Л. Определите силу, действующую на пробку со стороны жидкости.
3. Сферический баллон радиусом R со стенками толщиной Д < < R разрывается внутренним давлением Р. Определите предел прочности материала стенок.
4. На дне сосуда, наклоненного под углом а к горизонту, стоит куб с ребром а, сделанный из материала с плотностью р. Найдите силу, с которой куб действует на дно, h если в сосуд налита жидкость плотностью ро. Верхнее ребро куба находится на глубине h от поверхности жидкости. Между дном сосуда и кубом жидкости нет.
5. В полусферический колокол, плотно стоящий на горизонтальном столе, через отверстие сверху наливают жидкость. Когда жидкость доходит до отверстия, она приподнимает колокол и начинает из-под него вытекать. Найдите вес колокола, если радиус его внутренней поверхности равен R, плотность жидкости- р.
6. Решите предыдущую задачу для случая, если протекание жидкости началось при заполнении полости колокола до высоты h.
Обобщите задачу для колокола произвольной формы.
ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
7. Докажите, что в двух сообщающихся сосудах жидкость в поле тяжести имеет минимальную потенциальную энергию, когда уровни жидкости в обоих сосудах совпадают.
