Законы механики. Курс физики для учащихся физико-математических школ - Бченков Е.И.
ISBN 5-88119-120-Х
Скачать (прямая ссылка):
нижней линии тока примем равным о, на верхней Нетрудно установить, что во впадине, где скорость жидкости равна (с + шо), расстояние между рассматриваемыми линиями тока составляет (Ah -Да), а на гребне скорость жидкости (с - ша) и ширина трубки тока (Ah +Аа). Записав уравнение неразрывности, можно получить
(с + aa>)(Ah - Аа) = (с -асо)(ДЛ. + Да) и далее придти к уравнению da аа>
dh
¦ = ak,
(42)
интегрирование которого приводит к искомой зависимости амплитуды волны от глубины
g — апе
kh
Рцс.15. Свободная поверхность и линии тока жидкости при заглублении 0.032, 0.064, 0.128 и 0.256 от длины волны.
(41)
Рис.16. Траектории движения частицы жидкости на свободной поверхности и на глубине четверть и половина длины волны.
Здесь а0 - амплитуда волны на свободной поверхности. Учитывая, что в жидкости h<0, получили очень быстрое - экспоненциальное - затухание поверхностной волны с глубиной. Характерный масштаб этого затухания по вертикали определяется длиной волны и равен 1 /к. На глубине, равной одной длине волны, амплитуда колебаний уменьшается очень сильно - в е21 =535 раз!
149
ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
Проиллюстрируем полученные результаты графиками. На рис.15 приведены форма свободной поверхности и линии тока на разной глубине. На рис. 16 изображены траектории собственного движения частиц жидкости на свободной поверхности, на глубине четверти и половины длины волны при прохождении волны мимо них. Оказывается, при набегании волны частица жидкости просто совершает один оборот по окружности с радиусом, равным амплитуде волны, и возвращается в исходную точку. Приходит следующая волна, и частица делает следующий оборот.
ВОЛНЫ В БАССЕЙНЕ КОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ
Решим в заключение задачу о волнах на поверхности жидкости конечной глубины. В отличие от предыдущей, в этом случае надо сконструировать решение так, чтобы на дне вертикальное перемещение частиц обращалось в нуль. Сделать это можно, если обратить внимание на то, что во всех предыдущих рассуждениях нигде не требовалось предполагать, как мы, ни говоря об этом ни слова, сделали во всех предыдущих выкладках, что вращение жидкой частицы происходит так, чтобы на гребне волны скорость вращательного движения была направлена против набегающего потока жидкости, т.е. чтобы скорость на гребне была меньше, а во впадине больше скорости потока. С равным правом можно предположить и обратное направление вращения, из-за чего скорость частицы на гребне станет больше скорости ее во впадине. С энергетической точки зрения это выглядит странновато, но если предполагать, что поток создан за счет работы какого-то источника энергии, то нетрудно понять, что ничто не мешает некоторой части этой работы быть использованной на то, чтобы поднять жидкую частицу со впадины на гребень и при этом еще и увеличить ее скорость. Повторив выкладки предыдущего раздела, а проще всего просто изменив в них знак угловой скорости, нетрудно получить, что в волне с таким направлением вращения амплитуда обязана экспоненциально возрастать с глубиной. Значит, на глубине и должен находиться источник, заставляющий частицы жидкости двигаться столь странно. По существу, появление дна в задаче сопровождается появлением сил, действующих со стороны дна на поток жидкости.
После сделанных замечаний попробуем отыскать решение задачи, представив кинематику движения жидкой частицы на свободной поверхности в виде суммы поступательного движения со скоростью с, вращения в положительном направлении с угловой скоростью ш и амплитудой а0 и вращения в отрицательном направлении с той же по величине угловой скоростью ш, но с амплитудой Ь0. Именно в таком виде можно с наибольшей общностью представить весь класс движения частиц в силовом поле перпендикулярном к их траекториям.
Параметрическое уравнение свободной поверхности в этом случае имеет вид
х = ct + (a0+b0) cos cat, y = (a0-b0)sina>t. (44)
Учитывая закон изменения амплитуд о и b с глубиной, можно записать уравнение линии тока, соответствующей дну, в виде
х = сг + {о0е*А +60e~w‘)cos(ot, у = -h + (a0ekh-fcpe'^sincot. (45)
150
ГЛАВА XI
Условию, что на дне нет движения по вертикали, можно удовлетворить,
потребовав, чтобы (а0е*А-b0e'*A) = 0, откуда следует, что а0/Ь0 = е"2*\ и
после подстановки в (44) получить уравнение свободной поверхности жидкости
х = ci + a„(l + e2**)cosa>i.
Ж._____________________
)sinoo?.
Рис.17. Поверхность жидкости и линии тока на глубине 0.25, 0.5, 0.75 для волн, длина которых равна двум, одной и половине глубины бассейна. Отношение амплитуды волны на поверхности к длине во всех случаях одинаково. Основное отличие от предыдущей задачи состоит в том, что траектория частицы на поверхности из окружности превращается в эллипс. Не представляет особых затруднений, записав необходимые формулы с экспонентами для амплитуд а и b на некоторой глубине у, получить уравнение для линии тока на этой глубине. Чтобы не перегружать изложение избыточными деталями, не станем приводить эти несколько громоздкие формулы, а просто изобразим результаты расчетов на графиках на рис.17. При углублении в жидкость вертикальные перемещения частиц для длинной волны затухают значительно быстрее, чем горизонтальные, и на дне перемещения по вертикали вообще обращаются в нуль. Короткие волны, длина которых меньше глубины бассейна, быстро затухают на глубине порядка длины волны и разница между перемещениями по горизонтали и вертикали для них исчезает.
