Законы механики. Курс физики для учащихся физико-математических школ - Бченков Е.И.
ISBN 5-88119-120-Х
Скачать (прямая ссылка):
Если волны нет, то в потоке невязкой жидкости действует только гидростатика и давление постоянно на каждой линии тока. Перепад давления в слоях жидкости при этом направлен по вертикали, т.е. перпендикулярен к скорости частицы. Можно думать, что для достаточно пологой волны с малой амплитудой, результирующее силовое поле, создаваемое распределением давления в жидкости и силой веса, будет мало отличаться от равновесного потока, и принять в качестве первого приближения для решения задачи предположение, что давление попрежнему остается постоянным на всякой линии тока и результирующая сила, действующая на любую частицу жидкости перпендикулярна к скорости частицы. После такого предположения кинематика массовой скорости становится очевидной: частица движется со скоростью с и совершает движение по окружности радиуса а с угловой скоростью со.
ВОЛНЫ НА ГЛУБОКОЙ ВОДЕ
Продолжим рассмотрение задачи, предположив глубину бассейна неограниченной. В этом случае можно не принимать в расчет ограничения, возникающие из-за необходимости конструировать решение задачи, в котором вертикальная скорость жидкой частицы на дне обращается в нуль, так как кажется почти очевидным, что любое возмущение на поверхности жидкости затухает с глубиной и в бассейне неограниченной глубины вертикальная компонента скорости жидкости сама по себе должна обратиться в нуль при удалении от поверхности.
Запишем уравнение траектории движения некоторой частицы жидкости, находившейся в невозмущенном потоке на глубине Лив точке с горизонтальной координатой X,
х = X + ct + a(h)cosa>t, у = h + a(h)smait. (38)
Начало координат поместим на свободной поверхности, т.е. примем, что ей соответствуют h=О и а(О)=а0. Форму свободной поверхности жидкости можно получить, рассмотрев траекторию одной единственной частицы. Возьмем частицу с Х=0, после чего уравнение поверхности жидкости следует записать в виде:
х = ct + a0 coscot, У ~а0 smcot (-ОС < t < ос). (39)
Построив точки с координатами, заданными этими уравнениями, для большого набора достаточно близких моментов времени и соединив их плавной кривой, получим изображение поверхности жидкости. Кривые, описываемые уравнениями (39), в математике хорошо известны и называ-, ются циклоидами. Их форма зависит от отношения параметров с и а„. На рис. 13 приведены графики семейства этих кривых при увеличении амплитуды волны о,. Каждый из графиков во избежание наложения друг на друга несколько сдвинут по вертикали. Обратим внимание, что волна об-
147
ГИДРОДИНАМИКА ИЛКАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
ладает вертикальной симметрией и не симметрична относительно горизонтали.
Далее, при достаточно большом значении амплитуды волны появляются физически бессмысленные кривые с самопересекающейся петлей вблизи вершины.
Главный вопрос, на который следует получить ответ в первую очередь, состоит в том, насколько сконструированное нами решение соответствует уравнениям гидродинамики и сделанному при его построении предположению, что давление просто постоянно на линии тока. Проверим это, рассмотрев удовлетворяют ли уравнения (38) закону Бернулли. Дифференцируя (38) по времени, получим компоненты скорости частицы жидкости в потоке = a(h)a> cos a>t. (38)
В соответствии с уравнением Бернулли давление на линии тока, заданной параметром h,
Рис.13. Изменение формы свободной поверхности жидкости с ростом амплитуды волны.
vx =c-a(h)a>siaa>t,
: const -
2 2 vt +vt
-gy =
= const
= const
c2 -2ca(fe)a>sinmt + a2(/i)co2 sin2 mi + а2(/ь)со2 cos2 mi
~gy =
= const - -
c2 + a2(ft.)ca2 2
-2 -a2(hW
- ca(h)со sin соt-gh- ga(h) sin a>t --
-gh + [ c-~\a(h)a>sma>t.
2 " 4 co> (39)
Нетрудно видеть, что последнее слагаемое в полученном выражении для давления исчезнет, если
8 (40)
после чего в правой части (39) исчезнет какая-либо зависимость от времени и останутся лишь величины, зависящие от параметра линии тока h. Тем самым мы пришли к интересному результату: давление действительно может быть постоянным на каждой линии тока, если скорость волны удовлетворяет соотношению (40), т.е. при выполнении (40) построенное нами решение задачи удовлетворяет уравнениям гидродинамики при любых амплитудах волны.
Посмотрим, к чему приводит уравнение для скорости волны (40). Из
(37) можно получить со = ck и после подстановки в (40) получить, что скорость волны зависит только от ее длины
|1Е
у 2к ’
(41)
148
ГЛАВА XI
и не зависит от амплитуды и плотности жидкости. Скорость волны длиной 60 м достаточно велика - 10 м/с, а волна длиной 300 м мчится со скоростью поезда.
Последнее, что следует рассмотреть, это как движение частиц жидкости изменяется с глубиной, т.е. найти зависимость амплитуды вращательного движения частицы жидкости от глубины. Чтобы выяснить, какова эта зависимость о(h), рассмотрим трубку тока, составленную двумя близкими линиями тока, середины которых отстоят друг от друга на Ah по вертикали. При этом радиус окружности,
описываемой частицей на (о + До) (рис.14).
б_=4А-4а
Рис.14. К выводу уравнения для зависимости амплитуды движения жидкой частицы в зависимости от глубины. Рассматривается непрерывность потока, ограниченного двумя соседними линиями тока. Скорость определяется как результат сложения скорости волны со скоростью вращения частицы по окружности с радиусом, равным амплитуде волны.
