Законы механики. Курс физики для учащихся физико-математических школ - Бченков Е.И.
ISBN 5-88119-120-Х
Скачать (прямая ссылка):
Гидродинамическая модель высокоскоростного соударения была разработана выдающимся советским ученым М.А. Лаврентьевым.
Гидродинамическая кумуляция
Кумуляция энергии при схлопывании цилиндра из жидкости
Рассмотрим инерциальное движение цилиндра несжимаемой жидкости после воздействия на нее короткого импульса давления, сообщившего материалу скорость в направлении к оси. В начальный момент времени внутренний радиус оболочки был Гр, наружный - Rq, скорость жидкости на внутренней поверхности - ид. Определим скорость внутренней поверхности оболочки по мере схлопыва-ния ее.
Пусть в некоторый момент времени (рис.9) внутренний радиус оболочки равен г, скорость на внутренней поверхности и, наружный радиус оболочки R. Из уравнения неразрывности следует, что в этот момент времени скорость жидкости в слое, отстоящем от оси оболочки на расстоянии х
Рис.9. Схлопывание цилиндра к оси.
140
ГЛАВА XI
“'V (24)
а кинетическая энергия цилиндрического слоя толщиной dx и единичной
высоты в осевом направлении
2 2 2 U V г
dT = 2-xxdxp — = rep —— dx.
Интегрируя это выражение по ж от г до R, получим кинетическую энергию оболочки в некоторый момент времени
т f V*7"2 i 2 2 , R
T = }Kp—dx = Kpv г In—. (25)
Далее из условия сохранения энергии можно получить искомую скорость схлопывания в зависимости от положения внутренней г и наружной R поверхностей оболочки и начальных условий
Г2 V (26)
= й-.
г 1п-г
Воспользовавшись условием несжимаемости R2 - г2 = До ~ го >
можно вычислить наружный радиус при схлопывании в зависимости от внутреннего:
R2 , Rl-r2
_ = i+__ (27)
и после подстановки в (26) получить
1П&
2 о 2 Г0 ^
U = 2у0 ~2
Исследовав эту зависимость, можно убедиться, что при г -> 0 скорость внутренней поверхности оболочки v -ух.
Воспользовавшись распределением скоростей по толщине оболочки (24), сосчитаем скорость наружной поверхности
2 2
___о.,2_!й Гп
VR=V ~^2= 2у(
°* infill (29)
откуда нетрудно получить, что при г О R2 -> - г02, а скорость на
внешней поверхности жидкости yR-»0, т.е. действительно, наружные слои жидкости затормозились, отдав свою кинетическую энергию внутренним слоям. Произошло это потому, что из-за напора внешних слоев жидкости в ее объеме формируется область повышенного давления. Так как на обеих поверхностях слоя жидкости давление отсутствует, этот внутренний пик давления действует против скорости наружных слоев жидко-
141
ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
сти, тормозя их, и разгоняет внутренние слои, примыкающие к свободной поверхности.
р Эти качественные соображения
подтверждаются представленными на рис.10 графиками распределения давления в жидкости при схлопывании оболочки к оси, которые получены решением гидродинамической задачи для распределения давления в объеме жидкости. На вертикальной оси пока-зано давление, отнесенное к начальному скоростному напору жидкости Ро = РЧз /2, на горизонтальной - радиус, отнесенный к внутреннему радиусу оболочки ^ в начальный момент времени. Графики соответствуют моментам времени, когда внутренняя поверхность оболочки занимает положение: {1, 0.9, 0.8, 0.7, 0.6, 0.5, 0.4, 0.3, 0.2, 0.1}. Так как давление в процессе сжа-
тия очень сильно возрастает, пришлось представить графики на трех отдельных рисунках с разными масштабами по оси давлений.
Обратите внимание, что:
• давление на внутренней и внешней поверхностях оболочки
1 равны нулю,
• внутри кумулирующей оболочки
5 находится пик давления,
_____ • при сжатии этот пик увеличива-
0.2 0.4 0.6 0.8 г ется в сотни раз и смещается к
Рис.10. Распределение давления в ма- „ внутренней поверхности. териале схлопывающегося к оси и,и- Это значит, что толщина ускоряюще-линдра. гося слоя жидкости в процессе сжатия
становится меньше и в пределе лишь слой нулевой толщины приобретет бесконечную скорость, сосредоточив в себе всю начальную кинетическую энергию жидкости.
Для полноты информации отметим, что представленные на рис. 10 результаты расчетов относятся к сжатию достаточно толстой оболочки, начальный наружный радиус которой был R0 = 1.1г0. При уменьшении толщины оболочки эффект кумуляции энергии проявится на более поздних стадиях сжатия и будет носить более резкий характер.
Для понимания масштаба возникающих при кумуляции давлений рассмотрим оболочку из меди с плотностью р=8.9 г/см3 и с типичной для обжатия взрывом скоростью 2.5 км/с. Начальный диаметр ее выберем соответствующим калибру очень небольшой пушки - 100 мм. Скоростной на-
142
ГЛАВА XI
пор для такой оболочки оказывается />т=2.8*105 атм - почти треть миллиона атмосфер. Из приведенных рис.10 графиков можно видеть, что при уменьшении внутреннего размера оболочки до 60 мм максимальное давление в ней достигает примерно 6 тыс. атм. При дальнейшем сжатии до
10 мм давление возрастает почти в 100 раз и превышает полумиллион атмосфер! Перемещению внутренней поверхности оболочки на последних 5 миллиметрах отвечает возрастание давления в 4 раза - со 140 тысяч атмосфер до почти 600 тысяч атмосфер. Дальнейшее сжатие сопровождается еще более быстрым возрастанием давления в ней вплоть до бесконечности при полном схлопывании оболочки.
