Законы механики. Курс физики для учащихся физико-математических школ - Бченков Е.И.
ISBN 5-88119-120-Х
Скачать (прямая ссылка):
133
ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
плотности, внутренней энергии, а уравнения движения должны включать в себя не только закон изменения скорости под действием давления, но и законы сжимаемости, передачи тепла, трения. Кроме того, необходимо знать, как изменится внутренняя энергия W при изменении плотности и давления. Это знание содержится в так называемом уравнении состояния вещества. Уравнение состояния определяется характером взаимодействия молекул, и установление его - одна из самых трудных и серьезных задач физики.
Очевидно, что задачи гидродинамики принципиально отличны от задач механики точки или недеформируемого тела, а течение жидкости должно обладать рядом специфических особенностей, присущих исключительно движению идеально деформируемой сплошной среды. С некоторыми простейшими из них мы ознакомимся в следующих разделах.
Стационарное движение несжимаемой и невязкой жидкости
Рассмотрим установившееся движение жидкости. Будем предполагать, что потери на вязкое трение невелики и ими можно пренебречь. Такое предположение сильно изменяет существо дела, и нужно быть достаточно осмотрительным, применяя выводы из теории такой придуманной идеальной жидкости к движению реальных жидкостей.
В стационарном потоке частицы жидкости движутся друг за другом, проходя определенные установившиеся траектории. Их называют линиями тока. Вектор скорости направлен по касательной к линии тока. В каждой точке траектории скорость и ускорение могут быть разными, но важно, что при стационарном движении в заданной точке пространства они всегда одни и те же, т.е. не зависят от времени.
Уравнение неразрывности
Выделим объем жидкости, ограниченный совокупностью линий тока, проходящих через некоторый замкнутый контур поперечный к скорости жидкости. Этот объем называют трубкой тока. Рассмотрим два попереч-AS, ных сечения достаточно малой трубки тока ASt и AS2 (рис.З). Пусть жидкость течет слева направо. Тогда через левое сечение I трубки тока за единицу времени протекает масса жидкости PiUiASi, через правое II - p2i>2AS2. Боковая поверхность трубки тока состоит из линий Рис.3. Трубка тока тока. Это значит, что скорость жидкости на боковой поверхности направлена по касательной в этой поверхности, и через нее жидкость не протекает. Так как при стационарном движении распределение плотности жидкости между рассматриваемыми сечениями I и II во времени не изменяется, то сохранение массы жидкости приводит к уравнению неразрывности стационарного потока:
p^ASj = p,u2AS2, (7)
откуда следует, что в узкой части потока скорость и плотность жидкости должны возрастать.
134
ГЛАВАХ!
е + — = const. (g^
Уравнение Бернулли Подсчитаем работу, которую совершают силы давления при перемещении в течение времени At массы жидкости Am-piUiAS{At= fhVzASzAt через сечения I и II. Нетрудно видеть, что
ДА = p.ASiViAt-p2AS;V2At = \ ~-—\Ат.
V Рг р 2)
Эта работа, естественно идет на изменение энергии жидкости, и если е -полная энергия единицы массы жидкости, то
—]дт = (е2 -еЛд/71,
Pi P2V
откуда следует, что на каждой линии тока сохраняется величина Р Р
Энергия е состоит из кинетической и2/2, потенциальной U и внутренней энергии Wединицы массы жидкости. Подставляя в (8) вместо е сумму этих величин, приходим к уравнению Бернулли
2
— + -—- + U + W = const. (9)
Р
Если сжимаемостью жидкости можно пренебречь, то внутренняя энергия ее не меняется при движении, и уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости приобретает вид
Р 1)2
— + — + U = const. (10)
При движении вблизи поверхности Земли U=gh и (10) превращается в р и2
— + — + gh = const. (П) Примеры
Рассмотрим несколько задач о движении жидкости, которые можно просто решить, применяя уравнение неразрывности и уравнение Бернулли.
Истечение жидкости через отверстие в стенке сосуда Найдем скорость v, с какой жидкость будет вытекать из сосуда с поперечным сечением S через дырку в стенке сечением s, находящуюся на глубине h от свободной поверхности жидкости (рис.4). Из уравнения неразрывности нетрудно получить для несжимаемой жидкости скорость опускания ее свободной поверхности
« = «>! (12)
и при малом сечении дырки составит пренебрежимо малую величину, т.е. поверхность жидкости можно считать неподвижной. В таком случае вполне допустимо рассматривать вытекание жидкости через как стационарное течение.
135
ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
Записав уравнение Бернулли для линии тока, начинающейся на свободной поверхности и заканчивающейся в вытекающей струе, и учитывая, что давление на свободной поверхности и в струе просто равно атмосферному ро, можно получить
Ра > v Ро
— + gh = — + — Р 2 р
(13)
Из этого уравнения следует, что скорость в струе
Рис.5. Распределение скорости с струе на выходе из отверстия
Рис.4. Вытекание жидкости________
и = -J2gh . (14)
В результате скорость истечения жидкости оказалась в точности равной той величине, которую приобрели бы частицы жидкости при свободном падении с высоты h. Этот результат впервые был получен итальянским ученым Торричелли и формула (14) названа его именем.
