Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бченков Е.И. -> "Законы механики. Курс физики для учащихся физико-математических школ" -> 46

Законы механики. Курс физики для учащихся физико-математических школ - Бченков Е.И.

Бченков Е.И. Законы механики. Курс физики для учащихся физико-математических школ — Н.: ИДМИ, 1999. — 166 c.
ISBN 5-88119-120-Х
Скачать (прямая ссылка): zakonimehaniki1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 59 >> Следующая

123
КОЛЕБАНИЯ
Рис 7 Затухание колебаний во времени На третьей координатной оси представлена добротность
Затухание колебаний показано на рис.6, где приведены графики зависимости отклонения от времени при движении после начального отклонения хя=1 для колебательных систем с добротностью 0.25,0.5,1, 2,
4, 5. При Q<0.5 движение апериодическое. С возрастанием добротности происходят колебания и всего за время “жизни” колебаний происходит примерно Q периодов колебаний.
Наиболее наглядную картину затухания колебаний дает трехмерный график положения колеблющегося тела в зависимости от времени и добротности, представленный на рис.7.
Вынужденные колебания
Для поддержания колебаний в системе с трением необходимо воздействовать на нее внешней силой. Колебания, происходящие при этом называют вынужденными. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид
тх = ~kx -кх + f(t) . (30)
Здесь -kx - возвращающая сила, -юс - сила трения, ДО - внешняя сила. Естественным движением осциллятора являются колебания. Рассмотрим поэтому вынужденное движение при действии на осциллятор периодической силы f - fa coscui. Понятно, что вынужденные колебания должны происходить с частотой вынуждающей силы, которая в общем случае отлична от собственной частоты осциллятора со0, и решение уравнения движения (30) должно иметь вид
х = acos(a)4 + Ф0). (31)
Здесь неизвестны амплитуда а0 и начальная фаза ф0 вынужденных колебаний. Поделив (30) на т., получим уравнения движения в виде „ 2 /(*)
х + 2ух+а>0х = —. (32)
По своей структуре это уравнение представляет ускорение тела как сумму ускорений, порождаемых вынуждающей, упругой и силой трения, а именно: сумма ускорения тела и компонент ускорения, создаваемых упругой и силой трения должна быть равна ускорению от внешней силы. Так как все четыре ускорения в уравнении (32) - гармонические функции с частотой вынуждающей силы, их можно представить на одной векторной диаграмме и свести тем самым решение дифференциального уравнения (32) к некоторой геометрической проблеме сложения векторов.
Две такие диаграммы приведены на рис.8. На них ускорение, созданное вынуждающей силой изображено горизонтальным вектором длиной
124
ГЛЛВЛ X
fo/m, а ускорение, порождаемое упругой силой, - вектором длиной ю^а, повернутым относительно вынуждающей силы на угол ф0. Сила трения пропорциональна скорости и потому создаваемое ей ускорение опережает по фазе упругое на п/2. Ускорение тела в свою очередь опережает скорость на я/2 по фазе и оказывается противоположным по направлению упругой силе.
Рис 8. Векторные диаграммы вынужденных колебаний Решение уравнения (32) на диаграмме превращается в геометрическую задачу построения суммы векторов
В соответствии с уравнением (32) амплитуда ускорения, создаваемого силой трения 2усоа, амплитуда ускорения ш2а. Рассматривая в соответствии с (32) векторную сумму представленных на диаграмме ускорений, нетрудно получить из теоремы Пифагора
(ш2 - а2)2а2 + 4у2ш2а2 -(fa/mf , откуда следует, что амплитуда вынужденных колебаний
1------ (33)
а =
^(а-ш2)2 + 4у2м2
и начальная фаза
2ум
tg<Po =
(34)
Амплитуда вынужденных колебаний (33) пропорциональна амплитуде вынуждающей силы и сложным образом зависит от частоты вынуждающей силы ш, собственной частоты колебательной системы <в0 и затухания у При малом затухании (2у <<<в0) максимальная амплитуда колебаний достигается, если частота внешней силы равна собственной частоте осциллятора со = (В0
п - ПЧ\
mix 2усо0 ’ ( )
При приложении постоянной силы /0 осциллятор отклонится от положения равновесия на /о
(36)
лгсоо
и отношение максимального отклонения при совпадении частот к статическому при заданной величине вынуждающей силы
^mat 0>0
(3?)
125
КОЛЕБАНИЯ
В случае малого затухания Q»l, и отношение атш к а0 может быть очень большим. Рассмотренное явление сильной раскачки колебаний при совпадении частот называется резонансом. При резонансе <р0 = л/2 и вынуждающая сила всегда работает в такт с колебаниями, совпадая по фазе со скоростью, а коэффициент усиления колебаний атах /а0 оказывается равным добротности осциллятора Q.
Вблизи резонанса, когда (ш0 - со) «<в0 О>0 - СО2 = (<В0 - <в)(сй0 + й>) * 2<И0((й0 - <й)
л ? 2
и 4у со
4у2с*1
Поэтому вблизи резонанса /о______________________
2тч>
+ Y
откуда
а
«о
<Вп
¦\Д®0 - и)
2 2 + Y
• (38)
Рис.9. Амплитуда вынужденных колебаний в зависимости от отношения частоты вынуждающей силы к собственной. Добротность осцилляторов: 2, 2, 4, 8.
Рис.10. Амплитуда вынужденных колебаний в зависимости от отношения частоты вынуждающей силы к собственной частоте и от добротности
На рис.9 и рис. 10 изображены резонансные кривые, соответствующие формуле (38). Увеличение затухания у приводит к уширению резонансной кривой. Введем ширину резонансной кривой Да, определив ее условием уменьшения амплитуды вынужденных колебаний в V2 раз по сравнению с резонансным значением атах. Положив в (38) а/а0 =Q/-J2 , можно получить
Дм = 2у (39)
и затем из (39) и (37) вычислить, что произведение коэффициента усиления amax/a0 =Q резонансного осциллятора на ширину полосы Дм = 2у постоянно:
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 59 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed