Законы механики. Курс физики для учащихся физико-математических школ - Бченков Е.И.
ISBN 5-88119-120-Х
Скачать (прямая ссылка):
Период и частота гармонического осциллятора
Так как период косинуса равен 2тс, то период колебаний
(И)
Он не зависит от амплитуды.
120
ГЛАВАХ
Сформулируем рецепт, следуя которому можно определить период колебаний. Для этого нужно записать уравнение колебаний в стандартном виде (7) и, извлекая квадратный корень из коэффициента в правой части его, найти сначала частоту собственных колебаний со0, а затем с помощью соотношения (11) определить период колебаний Т.
Для массы на пружинке
- = 2тс,
Ik _ 2к
I— и Т = —
lm <в0 in,
Для малых колебаний математического маятника уравнение энергии ml2 ., mgl
(12)
-?/(<р) = -
—ф2 + ~^ф‘ = const.
После дифференцирования его по времени и сокращения на ф приходим к стандартному уравнению гармонических колебаний ф = -(g/l)y, откуда в соответствии с определениями частоты и периода
fg m 2 К ГГ
" (13) Рассмотрим колебания физического маятника, представляющего собой тело с моментом инерции I, вращающееся вокруг оси, проходящей через точку О. Центр тяжести тела находится в точке С, расстояние которой от оси вращения OC=d (рис.5). При малых отклонениях от положения равновесия энергии физического маятника может быть записана в виде
mv
/ф2 mgd ,
— + = const,
'mg
Рис.5. Физический маятник
mgd
откуда получаем уравнение колебаний ф =-------р-ф , а из
него частоту и период
mgd
2к
T =— = 2к i . <an у mgd
(14)
Величину I = —— называют приведенной длиной физического маятника. md
Энергия гармонического осциллятора
Воспользовавшись решением (9) задачи о движении гармонического осциллятора, можно получить, что его энергия mv2 kx2 Z~ 2 + 2
та „ш"
2 (“о*
+ <Poj +
cos2(co0f+ ф0
2
= тай со .
(15)
Кинетическая энергия осциллятора пропорциональна sin2(co0« + <p0)> по' тенциальная пропорциональна cos2(co0i + <Po)- Когда одна из них увеличивается, другая убывает. Нетрудно сообразить, что среднее значение кине-
121
КОЛЕБАНИЯ
тической энергии за период равно среднему значению потенциальной и каждое из них равно половине полной энергии гармонического осциллятора, т.е.
т-от-|. об»
Ломаные скобки ( ) обозначают среднее значение физической величины. Затухающие колебания
При перемещении Лх из-за трения теряется энергия. Рассмотрим малые скорости движения. Тогда (IV, 27)
/тр = -kv и
9 2к ттъи /1 "т\
Де = -к1ГД t =-----( )
m 2
Усредняя (19) по периоду и полагая, что движение слабо затухает за один период, можно использовать соотношение (16) и получить уравнение,
2к 8
описывающее медленно затухающие колебания (Де) =----------—Д? = -2уеД?,
TTL 2
или Де „ (18)
— = -2уД t, е
где к (19)
коэффициент затухания.
С уравнением типа (18) мы встречались, рассматривая движение ракеты (III, 5). Его решение имеет вид
е = е0е'2у‘. (20)
Так как энергия осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды, то из (20) следует, что амплитуда
а = а0е~у1. (21)
За время г = 1/у амплитуда колебаний убывает в г раз, а энергия в е^в, т.е. почти на порядок. Поэтому время т называют временем затухания колебаний. Нетрудно подсчитать, что за время т осциллятор совершит
т 1 1ш0 (22)
ЛГ=т=^<а->х%17
колебаний. Величину
2у (23)
называют добротностью колебательной системы. Из (22) следует, что по порядку величины она равна количеству колебаний, которые совершит осциллятор за время затухания.
Рассматривая затухание колебаний, мы предполагали, что оно достаточно мало, т.е. предполагали, что т>>Т, или Q»l. При сильном затухании движение изменяет свой характер и полученные в настоящем параграфе результаты не могут быть применены к случаю сильного затухания.
122
ГЛАВАХ
Чтобы точно рассмотреть затухание колебаний любого осциллятора с трением, запишем уравнение движения его, полагая, что на колеблющееся тело действует упругая сила и сила трения
тх = -кх~кх.
Разделив это уравнение на т и вводя собственную частоту а>0 и
затухание в соответствии с (8) и
Рис.6. Затухающие колебания. Графики по- приводим уравнение движе-
строены С движения иэначильпого откло- шя осцилл а с ем к стан_
нения и добротностей .0.25,0.5,1,2,4,8 г г
дартному виду
х + 2ух + (OqX = 0. (24)
Учитывая полученный результат для осциллятора с малым затуханием, попробуем отыскать решение этого уравнения в виде
х = a0e~y‘u(t), (25)
где u(t) - неизвестная функция времени. Дифференцируя предполагаемое решение (25), получаем
х = -уайе ^‘и(0 + айе^‘и;
(26)
х = у2а0е-т,и(О- 2уа0е~г‘и + а0е~у‘й, и после подстановки полученных выражений для х.хих в уравнение движения (24) приходим к уравнению
u + (a>o -y2)u = 0 (27)
для неизвестной функции u(t). Нетрудно заметить, что уравнение (27) совпадает с уравнением движения гармонического осциллятора (7), если в последнем заменить х на и и Шд на (©о - у2)- Это значит, что искомая функция имеет вид
u(t) = cos(o>t + ф0) ,
а общее решение задачи о затухании колебаний в соответствии с (25) может быть записано в виде
x(t) = а0е ~r‘ cos(a>« + <р0)- (28)
Здесь
(29)
собственная частота осциллятора с трением. Нетрудно видеть, что затухающие колебания происходят, если ш2 >у2, т.е. если добротность системы Q = ю0/(2у) > 0.5. При малой добротности Q < 0.5 разность (а>о - у2) меняет знак, и вместо гармонических функций решением уравнения (27) становятся показательные функции - движение становится апериодическим.
