Законы механики. Курс физики для учащихся физико-математических школ - Бченков Е.И.
ISBN 5-88119-120-Х
Скачать (прямая ссылка):
Наиболее общее представление о движении механической системы можно получить из трехмерного графика зависимости энергии системы от положения тела х и скорости v. На рис.2 изображен такой график для потенциальной функции, показанной на рис.1. Сечение поверхности на рис.2 плоскостью v=0 дает график потенциальной функции Щх), пересечение плоскостью е = const - график фазовой траектории.
Малые колебания
Из предыдущего ясно, что выбором физических тел и их расположения можно осуществить огромное разнообразие потенциальных функций и вместе с тем получить еще большее разнообразие возможных движений этих тел. Пусть на потенциальной кривой оказалось несколько минимумов. Каждый из них определяет некоторое положение устойчивого равновесия. При умеренных отклонениях из любого положения равновесия система окажется способной совершать колебательное движение вокруг него. Если отклонение превзойдет некоторый предел, станут возможными более
Рис.2. Зависимость энергии механической системы от координаты и скорости.
118
ГЛАВА X
сложные периодические движения, охватывающие сразу несколько положений равновесия. При очень больших отклонениях некоторые механические системы могут распасться - составляющие их тела окажутся способными уйти в бесконечность.
При малых отклонениях от равновесия, потенциальную функцию можно почти всегда достаточно хорошо аппроксимировать квадратичной параболой. Для грузика на пружинке это справедливо до тех пор, пока верен закон Гука, т.к. пока возвращающая сила пропорциональна отклонению. Другой пример такой аппроксимации дает рассмотрение колебаний под действием силы веса массы т, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити длиной I. \т% (Рис-3)- Такая колебательная система называется математическим маятником. Считая потенциальную энергию в РисЗ. Маятник положении равновесия (ф=0) равной нулю, получим, что при отклонении на угол (р
(У(<р) = mgh = mg(l-lcos<p) - 2m.g2sm2^ » ~^г"ф2, ^ ^
^ и
т.е. действительно потенциальная энергия математического маятника при малых отклонениях квадратично зависит от ф.
Гармонические колебания
Уравнение гармонических колебаний. Общее решение
Колебания, при которых Ukx1 называются гармоническими. При гармонических колебаниях сила пропорциональна первой степени отклонения от положения равновесия и направлена в положение равновесия, из-за чего ее называют возвращающей. Изучим гармонические колебания, понимая, что их можно рассматривать как наиболее типичный и часто встречающийся случай малых колебаний любых систем.
Продифференцировав уравнение энергии (1) по времени, нетрудно получить mvv + kxx = О, откуда после сокращения на v = х следует уравнение гармонических колебаний:
я+со2д: = 0. (?)
Здесь
2 k
Ш°=й' (8)
постоянный численный коэффициент, называемый собственной частотой гармонического осциллятора.
Полученное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение, особенностью которого является пропорциональность второй производной по времени от неизвестной функции x(t) значению этой функции с обратным знаком. С подобным уравнением мы встречались, рассматривая декартовы проекции ускорения точки, вращающейся с постоянной угловой скоростью со вокруг оси (11.33), что позволяет записать решение уравнения гармонических колебаний в виде
x(t) = a0cos(<B0ti^0). (9)
119
КОЛЕБАНИЯ
Метод векторных диаграмм
Сделанное замечание относительно совпадения уравнения гармонических колебаний с соотношением, связывающим положение вращающейся точки с ее ускорением, позволяет изображать гармоническую величину как проекцию вращающегося с угловой скоростью со0 вектора на некоторую неподвижную ось. Длина этого вектора равна амплитуде колебаний а0, а начальное положение относительно оси на которую производится
проектирование, определяется углом (ро ¦ так называемой начальной фазой колебаний. Представление гармонической величины как проекции вращающегося вектора называется векторной диаграммой. Принято на векторной диаграмме изображать положение векторов, относящееся к начальному моменту времени. Так как сумма проекций нескольких векторов равна проекции их векторной суммы, построение векторной диаграммы представляет удобный метод решения массы задач, связанных с суммированием гармонических функций с одинаковой частотой.
Суть этого метода состоит в:
1. построении векторных диаграмм для каждой из рассматриваемых гармонических величин;
2. геометрическом суммировании этих векторов путем построения соответствующей ломаной и ее замыкающей
3. и, наконец, построения проекции этой замыкающей при ее вращении с нужной угловой скоростью относительно некоторой неподвижной оси.
Дифференцированием общего решения гармонических колебаний (9) нетрудно получить
(10)
Из полученного соотношения для скорости следует, что изображающий ее вектор повернут на я/2 вперед по отношению к вектору положения колеблющейся точки и имеет в соо раз большую амплитуду. Аналогично, вектор, представляющий ускорение
опережает вектор положения на л и
граммы для координаты, скорости и
ускорения при гармонических колебаниях.
