Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бченков Е.И. -> "Законы механики. Курс физики для учащихся физико-математических школ" -> 43

Законы механики. Курс физики для учащихся физико-математических школ - Бченков Е.И.

Бченков Е.И. Законы механики. Курс физики для учащихся физико-математических школ — Н.: ИДМИ, 1999. — 166 c.
ISBN 5-88119-120-Х
Скачать (прямая ссылка): zakonimehaniki1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 59 >> Следующая

1 , <icp 1 (24)
а=2Г Tt= 2V°r°'
Так как секторная скорость представляет собой площадь, заметаемую радиусом-вектором планеты за единицу времени, то период обращения
тл, (25)
сг ’
где S - площадь эллипса. Из геометрии известно что эта площадь определяется длиной большой а и малой b полуосей эллипса
S = каЬ . (26)
Большая ось определена как отрезок прямой между вершинами эллипса. Используя результаты предыдущего раздела и умножив для перехода к размерным переменным все линейные размеры на длину масштабного отрезка г0, нетрудно установить, что большая полуось
г° г° _г° е _г° №о\/то _ro N GMm
“ 1-е 2-2/s 2 е-1 2 \ио[то-1 ~ 2 \U0\-% ~ 2Е0 '
Оказалось, что этот размер орбиты определяется только полной энергией.
114
ГЛАВА IX
Малая полуось поперечна к большой и проходит через центр эллипса. Из треугольника ОСВ на рис.9, нетрудно получить ее величину
1 9 е2 11+е
Используя вычисленные размеры полуосей эллипса (27)-(28), можем найти площадь, ограниченную орбитой планеты
nr2 11 + е (29)
S 1 — в V1 — в
Теперь не составит труда найти период обращения планеты по орбите:
Т = 5=_2_пт^_ ll + e _2кг0 1 11 + е _ 2 кг0 Г аУ* - _
сг и0г0 1-е V1 — е и0 1-eVl-e и0 Vr0J
2лг0 ( а'\/^ [2 2кг0(а\/'2 (2Т0 2лг0 Г а'|/^ I mv2
ид U0J ve i>0 U0J y|f/0| v0 Vr0J \GMm/r0
__*L_аУ*
- -Jgm ’
откуда после возведения в квадрат следует третий закон Кеплера
9 471" о
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 1X
k Ф 1
ЗАДАЧА КЕПЛЕРА
1. Известно, что эллипс можно получить пересекая прямой круговой цилиндр плоскостью, наклоненной к оси цилиндра под некоторым углом. Используя это, выведите формулу для площади эллипса.
2. Траектория движения тела, уходящего в бесконечность, состоит из двух ветвей. Какой смысл имеет вторая ветвь этой кривой? Нарисуйте годограф скорости, соответствующий этой ветви.
3. Вычислите угол между полярной осью и прямолинейной асимптотой уходящей в бесконечность траектории для заданных рь и и0.
4. Выведите формулу Резерфорда для угла отклонения а-частицы в поле ядра в зависимости от ее скорости в бесконечности и прицельного параметра.
5. Подумайте, как по расположению Луны на небосводе определить направление орбитального движения Земли в пространстве. Для упрощения задачи предположите, что плоскости орбит Земли и Луны совпадают.
6. Попробуйте качественно понять, как изменились бы траектории движения, если бы сила тяготения изменялась с расстоянием не по закону обратных квадратов.
116
ГЛАВА X
X. КОЛЕБАНИЯ
Колебательное движение. Амплитуда. Период и частота
Рассмотрим движение массы т, прикрепленной к пружине с жесткостью k. При отклонении от положения равновесия на расстояние х потенциальная энергия U=kx2/2, и закон сохранения энергии приводит к mv2 kx2
—?- 0)
Нетрудно видеть, что в рассматриваемом случае масса пг будет совершать периодическое движение вокруг положения равновесия, отклоняясь от него на расстояние а0, определяемое уравнением kal
~F = ?' <2>
Максимальное отклонение а0 от положения равновесия называется амплитудой, а время Т, по истечении которого процесс повторяется, -периодом колебаний. Обратная периоду величина называется частотой
v = ^' (3)
Качественные методы анализа колебаний
Существует много разных периодических движений. Нетрудно сформулировать условия, когда происходят колебания. Для этого надо, чтобы потенциальная энергия системы U(x) имела минимум, а полная энергия не превосходила некоторой величины. Для случая, изображенного на верхней части рис.1, колебания возможны возле точки О, соответствующей х=0, если полная энергия не превосходит величины ближайшего к точке О максимума йп- При ?>?т система в своем движении будет проходить положение равновесия и уйдет к минимуму потенциальной энергии при я-»оо.
Размах колебаний определяется решением уравнения
U(x') = e. (4)
В окрестности минимума потенциальной энергии это уравнение имеет два корня: xj и
х\, отвечающие одному и тому же значению энергии. В этих точках потенциальная энергия равна всей энергии системы и на кинетическую ничего не остается, т.е. скорость обращается в нуль и в следующий момент времени меняет знак - происходит изменение
и , „ направления движения. Поэтому точки яГ и
Рис.1. Потенциальная энергия и v J 1
фазовые траектории механиче- х* называют Точками поворота. ской системы
117
КОЛЕБАНИЯ
Другой взгляд на колебательное движение можно составить, если рассматривать одновременно положение и скорость тела. Воспользуемся для этого уравнением энергии
s(x,v) = T{v) + U(x). (5)
Здесь T(v) - кинетическая энергия тела. Уравнение (5) при заданной энергии г{х, и) = const представляет какую-то кривую на плоскости (х,и). Эту плоскость называют фазовой плоскостью, кривую z(x,u) = const - фазовой траекторией. На нижней части рис.1 изображено несколько фазовых траекторий. Так как положению равновесия отвечает минимум потенциальной энергии, кинетическая энергия, а вместе с ней и скорость максимальны при прохождении точки равновесия. При движении справа к точке равновесия и<0. Поэтому точка, изображающая движение механической системы, проходит фазовую траекторию по часовой стрелке. Из рис.1 видно, что колебаниям соответствуют замкнутые фазовые траектории, охватывающие точку равновесия О. Непериодическому движению отвечают незамкнутые траектории. Границей между этими двумя возможными типами движений оказывается фазовая траектория е(д:,и)=?т, где йп - значение потенциальной энергии в точке максимума. Ее называют се-паратриссой. Отметим, что сепа-ратрисса имеет характерную точку самопересечения, которая соответствует приходу системы в точку максимума на графике потенциальной энергии с нулевой скоростью.
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 59 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed