Законы механики. Курс физики для учащихся физико-математических школ - Бченков Е.И.
ISBN 5-88119-120-Х
Скачать (прямая ссылка):
уходящей в бесконечность траектории
111
ЗАДАЧА КЕПЛЕРА
Внутренние траектории
2
Рис. 7. Внутренние траектории. Все раз- Рис.8. Годограф скорости для внутренних
меры отнесены к радиусу исходной круговой траекторий. Единицей скорости выбрана
Завершим рассмотрение возможных траекторий, предположив, что в момент прохождения телом точки на полярной оси его скорость мгновенно уменьшается. При этом кинетическая энергия тела уменьшается, полная энергия следует за кинетической и уменьшается тоже, параметр задачи s возрастает. При уменьшении полной энергии тело начинает падать на силовой центр, и траектория его при уменьшении скорости располагается внутри исходной. На рис.7 и рис.8 приведены несколько внутренних траекторий и соответствующие им годографы скорости. Все внутренние траектории оказались замкнутыми. При этом самой близкой к силовому центру оказалась точка, полярный угол которой ф = я.
ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА
Пришло время показать, что из полученного решения следуют законы Кеплера. Это значит, нам надо показать, что замкнутая орбита представляют собой эллипс с Солнцем в одном из фокусов, и что квадрат времени обращения по эллиптической орбите пропорционален кубу большой полуоси орбиты.
Второй закон Кеплера
Ранее, при постановке задачи мы отметили, что центральность силы тяготения уже сама по себе приводит в сохранению момента импульса тела, откуда немедленно следует постоянство секторной скорости, т.е. второй закон Кеплера.
Первый закон Кеплера
Полученное уравнение траектории (14) хорошо известно в математике с давних пор. Обычно в него вводят традиционные обозначения
орбиты.
скорость на круговой орбите.
р = 2/s, е = 2/s -1
(17)
и переписывают в виде
112
ГЛАВА IX
Г _ Р r0 l + ecostp
(18)
Величину р называют параметром траектории, е - эксцентриситетом. Как
следует из решения задачи Кеплера, обе эти характеристики траектории определены параметром задачи s и между ними существует соотношение р = 1+е. (19)
Удобно все размеры отнести к расстоянию г0, используя его в качестве масштабной единицы. При этом все величины, представляющие линейные размеры, превратятся в безразмерные числа, показывающие сколько выбранных нами масштабных отрезков располагаются на длине той или другой линии. Сохранив для радиуса-вектора и декартовых координат тела прежние обозначения, перепишем уравнение траектории в виде 1 + е l + ecos(p
(20)
Введение естественных для конкретной физической задачи масштабов называется переходом к безразмерным переменным. Это - стандартный прием анализа решения физической задачи.
а
0 1-е
а = OB = FB
Ъ = ВС =
хА =
xF = 1
1-е
1 + е 1-е 2е 1-е
1 + е 1-е
Рис.9. Основные точки орбиты и их координаты: РиА- вершины, для замкнутой орбиты - перигелий и афелий; О и F - фокусы; С - центр; а и b - большая и малая полуоси.
Все размеры отнесены к гг Разберемся, какие кривые представлены уравнением (20). Отметим, что кривая, заданная этим уравнением, пересекает полярную ось в точках РиАс координатами хР =1 и хА =-(l + e)/(l-e), соответствующими значениям полярного угла ф = 0 и ф = л (рис.9). Назовем эти точки вершинами орбиты.
Полезно ввести представление о центре орбиты, поместив его как раз посередине между вершинами, т.е. в точке на полярной оси с декартовской координатой хс = (хР + яА)/2 = -e/(l-e). Определим на полярной оси точку F, симметричную силовому центру О относительно центра орбиты. Ее декартова координата окажется xF =-2е/(1-е). Учитывая, что гсовф = х, перепишем уравнение траектории тела (20) в виде
г + ех = 1 + е . (21)
Рассмотрим некоторую точку М на орбите с координатами {х, у}. Определим расстояния г, и г2 от точек О и ^до М. В соответствии с теоремой Пифагора окажется
113
ЗАДАЧА КЕПЛЕРА
2 2 2 rt =Х +у ,
2 ( 2еУ 2
Гг 4x+n;J ¦
Преобразуем г22 следующим образом
2 , Аех 4е2 2 4(l + e-r,) 4е2
(22)
г2_ = х + У~ + Т~Т + 71---------------------------------------------------71" = гГ +--------------------------------^—Г-----------+
1-е (1 -еу 1 1-е (i-ef
4 г, 4 4 4(1 + е) 4е2 2
1-е ' (1-е)2 (1-е)2 ' 1-е ' (l-е)2 1-е.
откуда немедленно следует, что
„2
2 I2 Г 2 V 2
Г2ЧГ1-Т^ =lr2+ri-T^Ar2-ri+I^J = 0- (23)
Полученное соотношение показывает, что орбиты могут быть двух типов. Для первого из них орбита представляет собой геометрическое место точек сумма расстояний которых от двух заданных точек О и F постоянна. Это известный еще древним грекам эллипс. Точки О и F для него называются фокусами. Таким образом, нам удалось показать, что решение задачи приводит к первому закону Кеплера.
Орбиты второго типа представляют собой геометрическое место точек разность расстояний которых от двух заданных точек О и F постоянна. Это тоже известная еще от античных времен гипербола. О существовании таких орбит до работы И. Ньютона никто не знал. Математика оказалась выдающимся творцом и привела к открытию новой, ранее неизвестной стороны гравитационного взаимодействия.
Третий закон Кеплера
Найдем период обращения планеты по эллиптической орбите. Проще всего воспользоваться для этого постоянством секторной скорости
