Законы механики. Курс физики для учащихся физико-математических школ - Бченков Е.И.
ISBN 5-88119-120-Х
Скачать (прямая ссылка):
е<1, (15)
т.е. в самой близкой к силовому центру точке кинетическая энергия тела, способного улететь в бесконечность, должна превосходить потенциальную.
Движению с постоянной скоростью соответствует прямолинейная траектория. Значит, траектория движения при распаде системы гравитирую-щнх тел имеет прямолинейную асимптоту в бесконечности.
Круговая траектория
Простейшее решение соответствует значению параметра задачи е=2. Нетрудно видеть из (12), что для такого значения е годограф скорости - окружность с радиусом и0 и с центром в начале координат. Так как эксцентриситет траектории при s=2 обращается в нуль, то столь же проста и траектория - тоже окружность с радиусом г0.
Внешние траектории
Следующим шагом проанализируем, как изменится траектория движения, если в момент прохождения телом перигелия ему мгновенно будет сообщаться некоторое приращение скорости. Кинетическая энергия при этом возрастает, а так как потенциальная энергия в перигелии остается без изменений, то параметр задачи е уменьшается. Полная же энергия возрастает. Это должно привести к тому, что движущееся тело покинет предыдущую траекторию и за счет полученной дополнительной кинетической энергии сможет уйти дальше от силового центра - его траектория окажется снаружи исходной. Назовем поэтому анализируемую в настоящем разделе ситуацию внешними траекториями.
На рис.2 для разных значений параметра задачи е приведены несколько замкнутых внешних траекторий. Соответствующие им графики годографа скорости показаны на рис.З.
109
ЗАДАЧА КЕПЛЕРА
Рис.2. Внешние замкнутые траектории. Значения параметра задачи указаны рядом с соответствующей орбитой. Все размеры отнесены к радиусу исходной круговой орбиты. С увеличением скорости в перигелии параметр г уменьшается. Орбита при этом вытягивается.
Рис.З. Годограф скорости для внешних замкнутых траекторий. Значения параметра задачи указаны рядом с соответствующим графиком. Единицей скорости выбрана скорость на круговой орбите. С ростом скорости в перигелии окружность годографа скорости смещается вверх и радиус ее уменьшается.
На каждой траектории наряду с точкой Р на полярной оси, которая соответствует полярному углу <р = 0, может быть определена точка А, отвечающая полярному углу <р = я. Из уравнения траектории нетрудно определить, что эта точка находится на расстоянии 2/е 1
ГА=ГаТ^2Гг^Г°~1 (16)
от центра. В астрономии для замкнутых траекторий эту точку принято называть афелием. Нетрудно видеть, что афелий - наиболее удаленная точка замкнутой траектории. Скорость в ней минимальна и противоположна по знаку скорости в перигелии.
При увеличении кинетической энергии тела параметр задачи s уменьшается. Это приводит к удалению афелия от силового центра. При е=1 афелий уходит в бесконечность - гравитационная система тел распалась. При дальнейшем увеличении кинетической энергии гА становится отрицательной, и точка, соответствующая афелию замкнутых траекторий появляется с той же стороны разомкнутой траектории, что и начальная, но расположена она на другой ветви кривой, описываемой уравнением (14). Смысл этого формального следствия из найденного уравнения траектории предлагается разобрать в одной из задач к настоящей главе.
Пройдем от перигелия до афелия замкнутой внешней траектории по кривой годографа скорости. Перигелий - точка Р - самая высокая точка го-
110
ГЛАВА IX
дографа. Скорость в ней максимальна. При движении по траектории соответствующая точка годографа скорости перемещается вдоль окружности. Величина скорости - расстояние от точки О до некоторой точки окружности годографа - уменьшается и достигает минимума в самой нижней точке графика. Это точка - афелий траектории. Обратим внимание, что в ней знак скорости противоположен скорости в перигелии.
Рис.4. Внешние траектории, уходящие в бесконечность. Все размеры отнесены к радиусу исходной круговой орбиты. Значения параметра е равны 1и 0.75.
екторий, уходящих в бесконечность, для е= 1 и в= 0.75. Скорость отнесена к скорости на исходной окружности.
При е < 1 запаса кинетической энергии оказывается достаточным, чтобы тело ушло в бесконечность. Внешняя траектория при этом перестает быть замкнутой и движение перестает быть периодичным. Соответствующие этому случаю траектории и годографы скорости для критического значения е = 1 и для е = 0.75 приведены на рис.4 и рис.5.
Для уходящих в бесконечность траекторий годограф скорости находится выше полярной оси. Это показано на рис.6. Особый интерес представляет точка В касания прямой, проведенной из начала координат, с окружностью годографа скорости. Отрезок ОВ представляет вектор скорости. Определим направление радиуса-вектора положения тела г для этого момента. Из (12) следует, что г перпендикулярен к радиусу окружности годографа скорости, проведенному в точку наблюдения. В нашем случае это значит, что г перпендикулярен к радиусу СВ, т.е. по направлению совпадает с касательной ОВ. Оказывается, в точке В скорость тела направлена вдоль прямой, соединяющей его с силовым центром, т.е. траектория улетающего в бесконечность тела выходит на прямую и дальнейшее движение происходит вдоль этой прямой. В этом как раз и проявился отмеченный ранее выход траектории распадающейся системы тел на прямолинейную асимптоту в бесконечности. Понятно, что точке В на годографе скорости отвечает бесконечно удаленная точка траектории.
