Законы механики. Курс физики для учащихся физико-математических школ - Бченков Е.И.
ISBN 5-88119-120-Х
Скачать (прямая ссылка):
Сформулируем результат проведенных рассуждений: задача Кеплера будет решена, если мы сумеем найти решение системы из двух уравнений (1) и (5), удовлетворяющее в точке Р условиям срР =0, vP - v0, rp =r0 .
Решение задачи
Годограф скорости
Обратим внимание, что как ускорение тела, так и угловая скорость оказались обратно пропорциональными квадрату расстояния. Это позволяет исключить г из задачи, поделив (1) на (5). В результате получаем
er = е5 coscp + еу sm<р.
(2)
(кр
(4)
Урго dt = г2
(5)
106
ГЛАВА IX
dv GM
йф г0и0 ег’ (^)
Появившуюся в правой части этого уравнения постоянную удобно пред-
ставить следующим образом
GM GMm 1 _ у0 GMm 2 _ ?
r0v0 V° r0 mvg 2 r0 mvg 0 2 ’ (7)
где через s обозначено отношение абсолютной величины потенциальной энергии в перигелии к кинетической энергии тела в этой же точке _ GMm. _2_ _ It^oj
r0 mv I Т0 (&)
Напомним, что потенциальная энергия в поле тяготения двух тел отрицательна, из-за чего в (8) появился знак абсолютной величины. Назовем е параметром задачи. Он - безразмерный. Как мы увидим в дальнейшем, именно параметр задачи сосредоточил в себе основные особенности движения и определяет индивидуальность траектории Он же определяет и величину полной энергии взаимодействующих тел
mv20 GMm mv% .
?0 =Т0+1Г0 =^-—— = —(1-е). (9)
После подстановки вместо ег его величины из (2) и замены коэффициента правой части в соответствии с (7) задача сводится к уравнению dv е / \
^ = -”0 2КСО8(Р + еу8т<р)' (10)
Полученное уравнение очень простое и его легко решить.
Прежде всего проведем разделение переменных, переписав (10) в виде
dv = -v0 cos<p + ey sm<p)d<p.
He составляет труда проинтегрировать полученное уравнение
v = const - v0 J-J (e* coscp + ey sin <p)d<p =
4 X (11)
= const - u0sin<p-ey coscpj.
Векторную постоянную const, появляющуюся после интегрирования, определим из начальных условий. Использовав в качестве последних <ро=0 и v0 = еуи0, нетрудно найти из (11), что const = eyu0(l-e/2) Подставим это значение в уравнение годографа (11) и, чтобы уяснить геометрический смысл полученного решения, проведем некоторые простые преобразования тригонометрических функций, перейдя от угла ср к углу на п/2 большему,
v = eyu0[l-|]-u0|(exsm9-ey cos<p) =
= eyu0(l -f) + v0 |(e, cos(j + ф) . ey sm(j + Ф)]
107
ЗАДАЧА КЕПЛЕРА
V = OC+CV
Рис.1. Годограф скорости тела. Это - окружность радиусом CV с центром в точке С. За время, в течение которого тело переместится из начального положения на полярной оси в точку R, вектор скорости повернется из вертикального положения в положение OV При этом радиус окружности на годографе скорости повернется на тот же угол, что и радиус-вектор тела. Вектора CV и г всегда перпендикулярны.
В результате описанных действий нам удалось найти из уравнений движения зависимость скорости от углового положения тела на траектории. Если зависимость г(<р) представляет собой полярное уравнение траектории тела на координатной плоскости {х, у}, то аналогичная зависимость для скорости v(<p) представляет полярное уравнение так называемого годографа скорости на плоскости {vx, vy}. Немного поразмышляв, нетрудно сообразить, что геометрически формула (12) представляет собой окружность радиусом и0 е/2 с центром на вертикальной оси в точке eyu0(l-e/2) (рис.1). При движении тела по траектории радиус-вектор его положения поворачивается из начальной точки на угол <р. Вектор, изображающий скорость тела, поворачивается при этом из начального положения на вертикальной оси в положение 0V и представляет собой векторную сумму постоянного вектора ОС, направленного вдоль вертикальной оси, и вектора CV, направленного вдоль радиуса из центра окружности С. Самое важное в том, что это второе слагаемое в векторе скорости поворачивается вместе с радиусом-вектором положения тела и всегда ему перпендикулярно, опережая радиус-вектор на тс/2.
Траектория тела
Разобравшись с годографом скорости, можно найти поперечную к радиусу-вектору положения тела компоненту скорости
после чего из уравнения сохранения момента импульса получить траекторию тела в полярных координатах {г, <р}
Анализ решения
Перейдем к заключительной и важнейшей части решения физической задачи - анализу полученного решения. При этом мы рассмотрим несколько
(13)
2/е
Г -
0 l + (2/e-l)cos<p
(14)
108
ГЛАВА IX
частных случаев, постараемся заметить и сформулировать некоторые общие закономерности.
Общие закономерности движения
Из-за четности coscp из полученного решения (14) следует, что траектории не изменяются при замене знака у ср. Геометрически это приводит к симметрии траектории относительно полярной оси.
Периодичность coscp приводит к тому, что если тело по истечении какого-то времени Т возвращается в исходную точку траектории, то после этого движение повторяет все ранее пройденные фазы, т.е. оказывается периодическим с постоянным периодом по времени Т.
Очевидно, однако, что при достаточно большой скорости в перигелии полный запас энергии может оказаться достаточно большим, чтобы движущееся тело могло уйти от силового центра в бесконечность, сохранив там некоторую скорость. Ясно, что такое тело никогда не вернется назад, и будет удаляться от силового центра с постоянной скоростью, навсегда покинув его. Движение по такой траектории продолжается неограниченно долго, результат его - распад системы гравитирующих тел на два свободных разлетающихся тела. Условие распада очевидно - полная энергия системы тел должна быть положительной. Из (9) при этом следует
