Законы механики. Курс физики для учащихся физико-математических школ - Бченков Е.И.
ISBN 5-88119-120-Х
Скачать (прямая ссылка):
2. Верхний конец легкого шеста длиной I закреплен в шарнире. Обезьяна массой т раскачивается на шесте, держась за его нижний конец, и в некоторый момент так быстро перепрыгивает с конца шеста к его середине, что за время прыжка шест практически не успевает сколь нибудь заметно передвинуться. Найдите связь между угловыми амплитудами раскачиваний до прыжка и после него в двух случаях:
1. обезьяна перемещается в момент прохождения шеста через положение равновесия и
2. обезьяна прыгает в момент наибольшего отклонения шеста.
104
ГЛАВА IX
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
IX. ЗАДАЧА КЕПЛЕРА
Введение
Утверждение, что физическая наука началась после того, как И Ньютон на основе предложенного им закона гравитационного взаимодействия получил в качестве решения сформулированных им же уравнений движения все три эмпирических закона Кеплера, вряд ли является чрезмерным преувеличением, хотя и представляет собой большое упрощение. Такое достижение должно было убедить не только автора, но и всех его возможных оппонентов в правильности изложенных представлений о природе и законах, управляющих движением, произвести громадное впечатление на научный мир и то, что сегодня принято называть общественным мнением, возбудить энтузиазм исследователей и породить у них желание следовать блестящему примеру первопроходца. Достижение И. Ньютона в решении задачи о движении тел под действием гравитационного притяжения - эту задачу сегодня называют задачей Кеплера - представляет собой событие намного большее, чем решение частной задачи. По существу, оно оказалось одной из величаиших вершин в познании окружающего Мира, поднявшись на которую человечество увидело новые горизонты, о существовании которых до того времени не подозревало. Сравнить это достижение с чем-нибудь другим трудно. Может быть, что-то похожее испытали люди полтора-два столетия раньше в эпоху великих географических открытий. Но то были открытия на поверхности Земли. А здесь, подлинно “открылась бездна” . И открылась она не только в бескрайность Вселенной, но и внутрь самого человека, показав ему бездонные глубины разума и его собственного интеллекта. Такое открытие, без всяких сомнений, изменило самого человека, необратимо сделало его другим.
Понимая таким образом значение решения задачи Кеплера, попробуем повторить работу Ньютона и на примере этой великой задачи поучиться тому, как должна делаться наука. Некоторые из последующих разделов могут показаться трудными и перегруженными излишними выкладками. Эти места можно при первом чтении спокойно пропустить, обратив внимание и запомнив лишь постановку задачи, применяемые к ее решению подходы и полученные результаты. Но спустя некоторое время, если возникнут внутренние побуждения, можно вернуться к прочитанному и еще раз перечитать этот раздел. От этого выйдет большая польза
Постановка задачи
Сформулируем задачу и запишем необходимые уравнения. При этом будем использовать современные представления, терминологию и обозначения. Будем рассматривать движение тела массой т под действием притяжения другого тела, масса которого М»т Сделанное предположение о массах упрощает задачу и позволяет считать большое тело неподвижным. Приняв закон Ньютона для гравитационной силы и поместив начало координат в силовой центр, запишем векторное уравнение движения
105
ЗАДАЧА КЕПЛЕРА
GMm
9 ©1
(1)
В этом уравнении ег - единичный вектор в радиальном направлении. Нетрудно сообразить, что в случае, когда этот вектор составляет угол <р с осью ОХ,
Выберем полярную систему координат для описания положения тела, т.е. станем описывать его расстоянием г от силового центра О и углом ср между полярной осью и радиусом-вектором положения тела.
Сила тяготения центральна. Это немедленно ведет к сохранению момента импульса и постоянству секторной скорости, т.е. второй закон Кеплера выполняется уже самой записью уравнения движения в виде (1). Запишем уравнение сохранения момента импульса
mvir = L. (3)
Здесь введено обозначение L = const для момента импульса.
Выписанных уравнений достаточно, чтобы разрешить задачу и определить траекторию тела. Однако, прежде чем приступить к решению, полезно внести в задачу некоторые упрощения, уточнив определения для перпендикулярной к радиусу-вектору компоненты скорости и± и для момента импульса L. Так как поперечная компонента скорости создается поворотом радиуса-вектора, то
Далее очевидно, что при любой траектории движения на ней можно отыскать самую близкую к силовому центру точку. Как это принято в астрономии, назовем эту точку перигелием и будем обозначать Р. Направим полярную ось и ось ОХ вдоль линии ОР. Расстояние от силового центра до ближайшей точки траектории обозначим г0. Из закона сохранения момента импульса следует, что в перигелии величина г минимальна, a vx-максимальна. Обозначим скорость тела в перигелии v0. Максимум поперечной скорости означает, что скорость перпендикулярна к радиусу-вектору положения тела, т.е. v± = v0. Из приведенных рассуждений следует, что L - mv0r0, после чего из определения поперечной скорости (4) и закона сохранения момента импульса (3) можно получить
