Законы механики. Курс физики для учащихся физико-математических школ - Бченков Е.И.
ISBN 5-88119-120-Х
Скачать (прямая ссылка):
3. Квадрат времени обращения планеты вокруг Солнца пропорционален кубу большой полуоси ее орбиты, т.е.
R3 = К* Т2, (!)
где Т - период, R - большая полуось радиус орбиты , К - коэффициент пропорциональности. Важно подчеркнуть, что он один и тот же для всех тел, движущихся вокруг Солнца.
Законы Кеплера устанавливают, что траектория планеты криволинейна, и скорость ее на орбите изменяется как по направлению, так и по величине. Это значит, что на планету действует какая-то сила. Рассмотрим, с чем она связана, как зависит от взаимодействующих тел и их взаимного расположения.
Выводы из законов Кеплера
Из первого закона сразу видно, что Солнце притягивает планеты, искривляя их траектории. Направление этой силы устанавливается из второго закона Кеплера, который, как мы видели в главе VII означает просто закон сохранения момента импульса планеты при движении по орбите.
Основной закон динамики вращательного движения (VI.24) позволяет утверждать при этом, что момент силы притяжения планеты к Солнцу равен нулю, т.е. плечо этой силы равно нулю, откуда следует, что сила притяжения направлена по прямой, соединяющей планету и Солнце.
Величина силы притяжения планеты к Солнцу определяется из третьего закона Кеплера. Предположим, что планета движется по круго-
89
ИЗУЧЕНИЕ СИЛ В ЭКСПЕРИМЕНТАХ И НАБЛЮДЕНИЯХ
вой орбите радиуса R (это действительно довольно близко к наблюдаемому движению большинства планет). Тогда ее скорость и=2тiRIT и ускорение a=v2/R=4n2RIT^. В соответствии с основным законом динамики при этом на планету действует сила 4k2R
/ = та = ui-^-. (2)
Исключив период обращения планеты по орбите Т из третьего закона Кеплера (1) и из (2), получаем
( Л Zir т
/ = 4тс К-^2 , (3)
т.е. сила притяжения планеты к Солнцу оказалась пропорциональной массе планеты к обратно пропорциональной квадрату расстояния.
Но что такое постоянная К в формуле для силы, с чем она связана? Совершенно неясно. Можно думать, что это какая-то характеристика Солнца, определяющая его способность притягивать планеты. Назовем эту характеристику гравитационной массой Солнца и обозначим Mg. Положим
4n2K = GMg, (4)
где G - некоторый коэффициент пропорциональности. Тогда Мвт
(5)
Инертная и гравитационная массы. Всемирное тяготение
Естественно предположить, что не только Солнце, но и любое другое тело обладает способностью притягивать все тела в соответствии с законом (5). Эта способность характеризуется гравитационной массой тела mg . В каком соотношении находится гравитационная масса тела с другими характеристиками его, в частности с известной нам мерой инертности тела ml Это не простой вопрос. Чтобы разобраться в нем, рассмотрим силы, действующие между телами 1 и 2 с массами mi, m3i и ms, mss и предположим, что их взаимодействие определяется законом (5). Тогда ^ mtmg2 r12 m2mgl г21
fi2 -G 2 и hi - G 2 . (6)
12 12 Г21 21
Равенство действия и противодействия приводит к mi mg2= тг msi, откуда ^g2
тх т2 (7)
для любых двух тел. Это значит, что гравитационная масса mg всегда пропорциональна инертной т и, выбрав соответствующую единицу измерения гравитационной массы, можно добиться, чтобы
те = т. (8)
Вот уж действительно неожиданный вывод, что притяжение определяется инерциальными свойствами тел и не зависит из чего эти тела сделаны: из водорода и гелия, как Солнце, или из чистого золота!
На основании изложенного можно предположить, что между любыми телами действует сила гравитационного взаимодействия
90
ГЛАВА Vli
т,тп г.
Уп2 М2
(9)
Закон тяготения (9) сформулирован на основе наблюдений за движением планет. Экстраполяция его на взаимодействие других тел без проверки экспериментом недопустима.
Впервые такая проверка была сделана самим Ньютоном, который предположил, что именно закон (9) определяет силу, действующую на все тела не только со стороны Солнца, но также и со стороны Земли. Ускорение тела, создаваемое притяжением Земли,
На поверхности Земли r=R1=63T10‘cM и §=9.8м/с2. В соответствии с (9) ускорение движения Луны по ее орбите вокруг Земли будет в раз
меньше g. Здесь Д]л=3.84 Ю‘°сл» - расстояние от Земли до Луны. Расчет показывает, что в случае справедливости закона (9) для взаимодействия Земля-Луна ускорение Луны на орбите в 3600 раз меньше g.
Возможен прямой подсчет ускорения Луны из астрономических наблюдений за ее движением. Луна совершает один оборот вокруг Земли за время Т= 29 суток=2.36Л06с. Отсюда следует, что ускорение Луны
и эмпирическое отношение g/a=3580 находится в очень хорошем согласии с вычислениями в предположении справедливости закона тяготения (9).
К закону (9) приводят астрономические наблюдения за движением спутников Юпитера, анализ движения Плутона, проведенный Адамсом и Леверье и приведший к открытию новой планеты Нептун, объяснение приливов в морях и океанах Земли, объяснение формы Земли, наблюдения за двойными звездами и шаровыми скоплениями звезд. Все это утверждает нас в мысли, что закон тяготения Ньютона (9) верен всегда и везде и как всеобщий закон природы по праву должен быть назван законом всемирного тяготения.
