Законы механики. Курс физики для учащихся физико-математических школ - Бченков Е.И.
ISBN 5-88119-120-Х
Скачать (прямая ссылка):
L = &>?, г2Ат,. (9)
Величину
называют моментом инерции тела. Он зависит от распределения масс в теле и тем больше, чем дальше от оси вращения отстоят массы, составляющие тело. Момент инерции обруча массой М и радиусом R относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости обруча
I = MR2. (И)
Определив момент инерции, можнй записать момент импульса тела в виде L = Ia>. (12)
Опыт показывает, что момент импульса замкнутой системы сохраняется. Приведем несколько примеров.
78
СОХРАНЕНИЕ МОМЕНТА ИМИУЛЬСА
1. Человек поскользнулся и падает назад. Повседневная практика заставляет его резко выбросить руки назад. Почему? При падении тело человека поворачивается так, что голова, плечи, руки его движутся назад. Выброс рук назад сообщает им некоторый момент импульса. Такой же по величине момент импульса получает тело человека, но направление вращения тела противоположно направлению вращения рук. Тем самым тело человека поворачивается вперед и падение удается предупредить.
2. Фигурист на льду делает очень красивый элемент своей комбинации: раскинув руки, он вращается вокруг оси а затем, прижимая руки к груди, сильно увеличивает скорость вращения. Можно объяснить, почему это происходит, исходя из закона сохранения момента импульса. Запишем условие сохранения момента импульса для начала - индекс 0 - и конца комбинации - индекс f
= ¦ (13)
Учитывая, что при перемещении рук спортсмена к груди момент инерции тела уменьшается, т.е. If <1о, из закона сохранения момента импульса (13) получаем
4
о^>®о- (14)
Список примеров, иллюстрирующих сохранение момента импульса, можно продолжить, включив в него описание движения акробата при исполнении сальто, движений гимнаста при исполнении упражнений на перекладине, брусьях и других снарядах и т.д.
Кинетическая энергия вращения
Пусть масса Ап, движется по окружности радиуса п с угловой скоростью
и. Ее кинетическая энергия
2 а 2
и:Ат7 со «
ATI =—Y~ = yn-anv (15)
Кинетическая энергия системы масс Дт1, вращающихся с одинаковой угловой скоростью вокруг некоторой оси, равна сумме их кинетических энергий, т.е.
_ „ vfAmt со2 п
T = I.—= Т^‘Г‘ " (16)
откуда, используя определение момента инерции системы масс (10),
/со2
Т= 2 ‘
Исключив угловую скорость из (12) и (17), приходим к 1}
(17)
7 = - .
21
(18)
Уравнение динамики вращательного движения. Момент силы.
Пусть за время At угловая скорость изменилась на Дсо. Нетрудно вычислить, что
АТ = /соДсо. (19)
79
ГЛАВА VI
С другой стороны, изменение кинетической энергии равно работе сил, приложенных к телу (V. 15)
АТ = ДА = fAs = fxAx + fyAy. (20)
Воспользовавшись соотношениями между линейной и угловой скоростями (II. 31), получаем
ДА = (- fxy + fyx) Д0 = (- fxy т fyx](s>At, (21)
после чего из (19) - (21) следует /Дш =(-fxy + fyx)At,
или
d(lu>) ( \ (22)
-jT = {-f*y+fy*b Величину
т = (~ f%y + fyx) ^
называют моментом силы. Как и момент импульса, момент силы определен своим плечом d по отношению к оси вращения.
После определения момента силы уравнение (22) записывают в виде d(Ia>) dL dt dt T'
Это основное уравнение динамики вращательного движения.
Если на тело действуют несколько сил, то ДА = 2), ДА, откуда
Т = 1,Т,. (25)
Здесь х, - момент i -той силы.
Для уяснения смысла момента силы рассмотрим еще раз работу, производимую силой f при пово-~JAs=tAQ роте тела на угол Ад. Нетрудно видеть (рис. 5), что ДА = (fAs) = (fr sin а)д0 = тД0, (26)
откуда момент силы dA
Рис.5. Работа силы при т =-= fr sin а = fd , (27)
повороте тела.
и мощность
dA (28)
N = —г- = тсо . dt
Вращательное движение системы тел
Основное уравнение динамики вращательного движения может быть записано для любой материальной точки вращающегося тела
dL,
(29)
Если просуммировать все эти уравнения, то dL ,
dt ~ т ’ (30)
где L = Y.,Ll ¦ момент импульса системы тел, х" момент внешних сил, т.к. моменты внутренних сил при сложении взаимно уничтожаются из-за ра-
80
СОХРАНЕНИЕ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
венства действия и противодействия, если парные взаимодействия центральны.
Из (30) следует сохранение момента импульса системы тел в случае равенства нулю момента внешних сил.
Условия равновесия тел.
Для равновесия тел необходимо, чтобы при малом перемещении системы произведенная работа была равна нулю. В случае произвольной системы сил работа перемещения может быть записана в виде
Условие равенства этой величины нулю при любых перемещениях As и поворотах Д0 приводит к условиям равновесия любой системы тел
Решая эту систему уравнений, можно определить величины сил, уравновешивающих друг друга.
ДА = fAs + т'Дв.
(31)
f = 0,
те =0.
(32)
81
1. Тонкий обруч радиусом R раскрутили вокруг его оси до угловой скорости юо и положили на горизонтальный стол. Через какое время обруч остановится, если коэффициент трения между столом и обручем равен ц? Сколько оборотов сделает обруч до остановки?
2. На наклонную плоскость, составляющую с горизонтом угол а, кладется сплошной цилиндр радиусом R, вращающийся вокруг своей оси с угловой скоростью ю0. Определите, на какую высоту поднимется цилиндр, если коэффициент трения между цилиндром и плоскостью ц> tg а.
