Законы механики. Курс физики для учащихся физико-математических школ - Бченков Е.И.
ISBN 5-88119-120-Х
Скачать (прямая ссылка):
75
ГЛАВА VI
VI. СОХРАНЕНИЕ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Момент импульса материальной точки. Сохранение его
Кроме импульса и энергии в замкнутой системе сохраняется еще и так называемый момент импульса. К закону сохранения момента импульса, как и к любому физическому закону, приводят наблюдения и эксперимент. Наблюдения за движением планет вокруг Солнца позволили И. Кеплеру установить в начале 17 века три закона, описывающие движение планет. Один из этих законов - второй утверждает, что прямая, соединяющая Солнце и какую-либо планету, за равные промежутки времени описывает одинаковую площадь, т.е. площади заштрихованных на рис.1 секторов, заметаемых радиусом-вектором планеты за одинаковые промежутки времени равны.
В соответствии с законом Кеплера планеты затрачивают одинаковое время для прохождения каждого из отрезков пути OBi, РВг, и АВз. Отсюда следует, что когда Земля находится ближе всего к Солнцу (в начале января) скорость ее движения по орбите максимальна, в связи с чем зимний период в северном полушарии оказывается несколько короче, чем в южном.
Закон равных площадей можно сформулировать в виде закона сохранения некоторой величины. Пусть заштрихованные на рис.1 площади проходятся радиусом-вектором планеты за малый отрезок времени At, что позволяет считать путь, проходимый планетой за этот отрезок времени, прямолинейным и пренебрегать изменением скорости на малом участке орбиты, хотя в точках Bi и Вг траектории скорость планеты разная. При таких предположениях OBi =viAt и PBs =viAt, а площади треугольников (FOBi) и (FPBz) будут OBlxr(/2 и PB2xr2/2, где ОВ,х и РВ2Х - проекции векторов перемещения ОВ,и РВ2 на направления, перпендикулярные к = FO и Г2 = FP. Нетрудно получить, что (v,A^r, = (v2At)±r2, откуда
(mv,)^ =(/nv2)xr2. (1)
Такая запись закона равных площадей позволяет интерпретировать его как закон сохранения величины
L = (/nv)xr, (2)
называемой моментом импульса материальной точки. Момент импульса точки относительно некоторой оси есть произведение расстояния от оси до тела на проекцию импульса тела на направление, перпендикулярное
Рис.1. Второй закон И. Кеплера. Площади заштрихованных треугольников, проходимые планетой за одинаковые промежутки времени, равны
76
СОХРАНЕНИЕ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
направлению от оси к телу. Если а - угол между векторами р и г, то L=prsina. Это соотношение можно переписать в виде
L = pd,
(3)
Рис.2. Определение момента импульса относительно оси, проходящей через точку О.
где d=r'Sina - проекция радиуса-вектора г на перпендикулярное к вектору импульса р на-правление (рис.2). Величина d называется плечом импульса относительно центра, из которого построен радиус-вектор.
Законы сохранения импульса, энергии и момента импульса представляют собой точные законы природы. До сих пор не было обнаружено ни одного случая отступления от этих законов. Применение законов сохранения к рассмотрению взаимодействия тел позволяет получить ряд сведений о явлениях, происходящих при взаимодействии.
Рассмотрим в качестве примера одну задачу. На Землю налетает поток метеоритов со скоростью относительно Земли. Плотность метеоритов в потоке п, т.е. в кубическом сантиметре пространства находится п метеоритов. Подсчитаем, сколько метеоритов будет выпадать на поверхность Земли ежесекундно. Движение каждого метеорита происходит под действием силы гравитационного притяжения к Земле, и траектория представляет собой довольно сложную кривую, которую можно определить, преодолев значительные трудности вычислительного характера. Однако, подсчет числа выпадающих на Землю метеоритов произвести несложно. Ясно, что не все метеориты потока упадут на Землю. Часть пролетит мимо.
Нарисуем траектории метеоритов, касающихся поверхности Земли. Эти траектории образуют некоторую поверхность вращения с осью, параллельной v„ и проходящей через центр Земли (рис.З, 4). Все метеориты, попавшие внутрь этой поверхности, упадут на Землю. Все находящиеся снаружи пролетят мимо. На бесконечности рассматриваемая поверхность представляет собой круговой цилиндр радиусом р. Через поперечное сечение этого цилиндра за 1 сек пролетят метеориты, находящиеся на расстоянии не далее от этого сечения. Поэтому искомое число выпадающих на Землю метеоритов будет
J - nnp2v„. (4)
Для нахождения р запишем уравнения энергии и момента импульса захватываемого метеорита для двух точек его траектории: бесконечно удаленной и точки соприкосновения с Землей mv\ mvl М3т
Рис.З. Траектории двух метеоритов, летящих к Земле с одинаковой скоростью из бесконечности, но с разными прицельными параметрами р.
ГЛАВА VI
Здесь т - масса метеорита, vo - скорость его у поверхности Земли, М3 масса Земли. Решая систему уравнений (5), получим
, М3 1 „ J. i|
p-^f+G r3 vi -Rif+Vi ’ (6>
где V2- вторая космическая скорость для Земли (V, 27). Окончательно
J = wnvJR%\l + ^. (7)
Момент импульса тела
Материальная точка массой Ат, вращающаяся с угловой скоростью <а вокруг неподвижной оси, обладает моментом импульса
AL = ш2Ат. (8)
Определим момент импульса тела как сумму моментов импульса материальных точек Ат1, из которых состоит это тело, т.е.
