Законы механики. Курс физики для учащихся физико-математических школ - Бченков Е.И.
ISBN 5-88119-120-Х
Скачать (прямая ссылка):
Представим, что система грузов совершила малое перемещение, и груз q сдвинулся на 5 вниз. Если веревка нерастяжимая, то груз р переместился вдоль наклонной плоскости на то же расстояние 5 (рис. 3). При этом он поднялся вверх на высоту 5 Sin а. Закон сохранения энергии приводит к <j5=p5 Sina, откуда
(»)
В качестве второго примера рассмотрим, какую силу р надо приложить к правому концу балки длиной I, чтобы уравновесить грузы pi и рг, находящиеся на расстояниях U и U от ее опертого конца (рис.4). Допустим опять, что произошло смещение грузов в результате поворота балки на малый угол 5а. Тогда груз р опустился на I-6а, а грузы pi и рг поднялись на
Рис.З. Равновесие грузов на наклонной плоскости
q = р sin a.
IE
*L
<L
P3
РисЛ.Рравновесие грузов на опертой одним концом жесткой балке
60
ГЛАВА V
li-5а и h-5а. Закон сохранения энергии дает р15а = 5а + рг1фо., откуда после сокращения на 5а
р/ = р,^ + р24, (9)
Аналогично можно рассчитать равновесие произвольной системы грузов. Программа такого расчета:
1. предполагаем, что один из грузов совершил сколь угодно малое перемещение;
2. рассчитываем вызванные этим перемещения остальных грузов и,
3. составляя уравнение энергии, приходим к уравнению, определяющему равновесие сил.
Изложенный алгоритм расчета механического равновесия называется методом виртуальных работ.
Кинетическая энергия тела
Рассмотрев работу грузоподъемных машин, мы установили, что груз р, поднятый на высоту к, обладает запасом потенциальной энергии U=ph. Можно использовать этот запас для подъема другого груза. При этом потенциальная энергия двух грузов окажется неизменной, если производить работу на обратимой машине. А куда денется потенциальная энергия поднятого груза, если этот груз бросить со скоростью vo вниз? Из опыта известно, что вблизи Земли груз будет падать вниз с ускорением g. Переместившись за время t с высоты h до высоты у груз приобретет скорость v=vo+gt и пройдет путъ/ъ-у =g?/2 + v0t. Исключением t из этих двух формул нетрудно получить
У2-Ур У2-Ур
У 2g 2 р/т'
откуда
ту2 ту$ (Ю)
Ph-py = — - — ,
т.е. изменение потенциальной энергии тела при падении равно приросту величины ту2/2. Назовем ту2/2 кинетической энергией тела и будем обозначать ее Т. Соотношение (10) можно теперь переписать в виде
mv% ту2 (11)
рк+~Г = ~Г+ру’
и толковать его как закон сохранения кинетической и потенциальной энергий тела при переходе одного вида энергии в другой.
Работа силы. Мощность
Пусть тело массой т движется по некоторой криволинейной траектории и под действием силы f изменяет свою скорость как по величине, так и по направлению. Разложим силу на ‘,Jr составляющие ft по касательной к траектории и Д по
нормали к траектории. Под действием силы fz изменяется величина скорости, под действием fa изменя-Рис.5. Работа силы ется только направление. Рассмотрим два соседних
61
СОХРАНШИЕ ЭНЕРГИИ
положения тела на траектории, разделенных очень малым промежутком времени At (рис.5). Пусть в первом положении скорость тела была v. Во втором она будет v+a^At, причем в соответствии со вторым законом Ньютона ar=f/m. Рассмотрим изменение кинетической энергии тела Т при переходе из точки 1 в точку 2 траектории
_ m(v + Av)2 mv2 (Ди)2 f а, ^
Д Т =----- ----- ——— = mv Av + m —-— = отиДц 1 + — At ,
2 2 2 V 2 vJ
При малом At вторым слагаемым в скобках можно пренебречь по сравнению с 1. Поэтому
АТ = mv Av - f^vAt,
Для бесконечно малых перемещений vAt=As и
AT = f,As. (12)
Произведение перемещения на проекцию силы на направление перемещения называют работой силы и обозначают ДА.
ДА = f^As = fAs cos а. (13)
Величину
N = fTv = fv cos а (14)
называют мощностью. Здесь а - угол между векторами f и v.
Из (12) следует, что изменение кинетической энергии тела равно работе силы на том пути, на котором рассматривается изменение Т, т.е.
АТ = ДА. (15)
Скалярное произведение векторов
Рассмотрим два вектора а = ахел +-ауеу +агег и b = Ьхех + Ьуеу + Ьгег. Составим для них величину об-cosa, где а - угол между векторами а и Ь. Эта величина называется скалярным произведением векторов а и b и обозначается (аЬ). Нетрудно видеть, что
(аЬ) = аЬа = Ьаь = (Ьа). (16)
где Ьа - проекция вектора b на направление вектора а, аь - проекция а на направление Ь.
Из определения скалярного произведения следуют два его свойства:
1. Если а = а, + а2, то аь=а1ь+агь и
(аЬ) = ((а, +a2)b) = (a1b) + (a2b). (17)
2. Если а = А.а,, то аь=\си и
(аЬ) = ((А.а, )b) = A.(a,b). (18)
Полученные свойства скалярного произведения (17)-(18) позволяют применять при вычислении его известные алгебраические правила раскрытия скобок и получить для скалярного произведения
(аЬ) = (a^e, + ауеу ~a:ez)(bxe, +6,еу +bzez) =
= аА(ехех) + axby(e^ey) + аД(ехег) +
62
ГЛАВА V
Л(в,е«) + ауЬу{еуеу) + аА(е,е*) + АКех) + azby(ezeyj + аД^е,) =
— + ау^у + аА > (19)
потому ЧТО
(е*еу) = (ехег) = (еуег) = 0, (20)
из-за перпендикулярности векторов и
(ехех) - (вуву) = (ezez) = 1, (21)
как произведения параллельных векторов единичной длины.
Формула (19) дает выражение скалярного произведения векторов а и b через их декартовы координаты.
