Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
двух линий, отвечающих колебательной и диффузионной потере устойчивости
соответственно.
В общем случае структура параметрической окрестности этой точки автору
неизвестна. Однако ясно, что на плоскости параметров в зту точку, кроме
описанных выше линий, должны входить еще по крайней мере две линии,
отвечающие двум типам бифуркаций коразмерности один, а именно бифуркации
колебательной потери устойчивости равновесиями, неоднородными по
пространству, и бифуркации смены устойчивости однородным предельным
циклом. Взаимное расположение всех бифуркационных линий в окрестности
точки (0 ± г) и задает полный набор фазовых портретов системы и их
бифуркаций. Комбинаторика возможного расположения бифуркационных линий
довольно богата.
Резюмируя, можно сказать, что результат исследования системы (6.1.7) дает
пример одного из возможных расположений бифуркационных линий в
окрестности точки типа { 0, ± г} . При этом оказывается возможным
выделить все четыре типа притягивающих режимов, реализуемых в било-
кальных системах вида (6.7.4).
Второй вопрос: какое отношение имеет исследованное поведение би-локальной
системы к истинно распределенной системе, описываемой системой
дифференциальных уравнений типа диффузия-кинетика (6.1.1)? Некоторой
попытке представить себе возможный ответ посвящен следующий раздел.
6.2. КОЛЬЦЕВОЙ АРЕАЛ
Гипотеза состоит в том, что исследование билокальной модели позволяет
предсказать значения параметров, при которых те или иные динамические
режимы реализуются в системе распределенной. Одним из наиболее интересных
режимов в билокальной системе (6.1.7) является режим триггерного типа,
при котором в зависимости от начальных условий в системе устанавливаются
либо стационарная диссипативная структура, либо синхронные и
тождественные автоколебания в обеих подсистемах (пара-162
метрическая область 4). Предмет настоящего раздела состоял в численной
проверке предположения о том, что знание параметрической области 4 для
билокальной системы (6.7.1) позволяет предсказать значения параметров,
при которых аналогичные режимы триггерного типа, когда при одних
начальных условиях устанавливается диссипативная структура, а в других -
однородные по пространству автоколебания реализуются в истинно
распределенной системе.
Чйсленно исследовалась система [22]:
du/Ot = Du Э2м/Эг2+ и2(1 -u) --uv,
Эн/фГ = Dvd2v/dz2 - yv(a - и + Sv) (6.2.1)
при следующих значениях параметров: Du = 0,01, ov = 100, 7 = 1, 5 = 0, а
= = 0,4. Коэффициенты диффузии выбраны произвольными и сильно различными,
коэффициенты локальной системы выбраны таким образом, что в локальной
системе реализуется автоколебательный режим, а в билокальной - режим
триггерного типа, отвечающий параметрической области и фазовому портрету
4 (см. рис. 6.1.2 и 6.1.3).
Выше отмечалось, что естественной областью определения системы
(6.1.2) является единичный отрезок с условиями непроницаемости на
концах. Возможен и еще один тип экологически естественной области
определения и краевых условий для системы (6.1.2) - это единичное кольцо,
т.е. условия типа
Ъи Э и
И(0,0 = И(1,/); - (0,0 = - (1,0;
Э г Or
д и д v
u(0,t) = v(l,t); - (0,0 = -(1,0- (6.2.2)
Or or v '
Экологически условия (6.2.2) отвечают распределению сообщества на
кольцевом ареале. Такие ареалы самого различного пространственного
масштаба широко распространены в природе: это береговые линии прудов и
озер, уровни постоянной высоты вокруг горных систем и отдельных гор,
циркумполярные области и т.п.
Заметим также, что при анализе диссипативных структур условия
непроницаемости на концах единичного отрезка и условия непрерывности и
гладкости на кольце (6.2.2) очень близки по смыслу.
Результаты расчетов на ЭВМ, проведенные Г.С. Маркманом [22], подтвердили
гипотезу. На рис. 6.2.1 представлены некоторые из начальных
распределений, приводящих к установлению однородных по пространству
колебаний плотности популяций и к устойчивой стационарной диссипативной
структуре. Начальное распределение и(г, 0) во всех случаях полагали
однородным v(r, 0) = п0, причеми0 принималось равным неустойчивому
стационарному значению для решения локальной системы
(6.1.6) (для выбранных значений параметров и0 = 0,6 для всех
реализаций модели).
Начальные распределения и(г, 0) задавались таким образом, что минимум
концентрации и (г ) в диссипативной структуре (в случаях, когда
163
uflOJ
Рис. 6.2.1. Начальные распределения плотности популяции жертвы,
приводящие к синхронным однородным колебаниям по всему кольцевому ареалу
(а) и к установлению стационарной диссипативной структуры (б)
она'устанавливалась) приходился на г = 0,5, а максимум - соответственно г
= 0 и г =1.
Исследовалась лишь первая гармоника диссипативной структуры, т.е.
периодическое решение и(г), у которого на кольце укладывается только один
период. Возможно существование при некоторых значениях параметров и более
высоких гармоник диссипативных структур, когда на единичном кольце
