Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
других областях, синхронным и тождественным колебаниям плотности
популяции жертвы в обеих подсистемах. Устойчивые циклы rj и Гг
соответствуют колебаниям плотности популяций жертв вокруг разных
равновесных значений. Этот режим назовем нестационарной диссипативной
структурой.
Параметрическая линия, разделяющая области 7 к 4, отвечает прямой
бифуркации Андронова-Хопфа равновесий Bj и В2: при переходе 4 -> 7
равновесия В] и В2 мягко теряют устойчивость с рождением малых устойчивых
предельных циклов rj и Г2.
Параметрическая линия, разделяющая области 7 и 3, отвечает бифуркации
слияния двух симметричных пар циклов Г! сГ{ и Г2 с Г2. Параметрическая
точка Z отвечает бифуркации коразмерности два обращения в нуль первой
ляпуновской величины L j на линии нейтральности равновесий Bt и В2.
160
Значениям параметров области 8 отвечает существование на фазовом портрете
системы пяти равновесий: двух седловых (Bi иВ2) и трех устойчивых (А, В!
и В2). Другими словами, при этих значениях параметров в зависимости от
начальных условий в системе могут реализовываться как равновесие А,
аналогичное устойчивому равновесию в локальной системе, так и одно из
равновесий Bi)2, отвечающих , диссипативной структуре.
Параметрическая линия, разделяющая области 1 и 8, отвечает бифуркации
слияния двух симметричных пар равновесий: Bi с В2 и В'2 с В2 и их
исчезновению. Параметрическая точка М отвечает бифуркации коразмерности
два одновременного слияния всех пяти равновесий.
Завершая описание параметрического и фазового портретов системы
(6.1.7), можно сказать, что в системе в зависимости от значений
параметров и начальных условий реализуются притягивающие режимы четырех
типов.
1. Однородное по пространству равновесие, аналогичное таковому в
локальной системе, - точка А, параметрические области 1 и 8.
2. Однородные по пространству автоколебания, аналогичные автоколебаниям в
локальной системе - устойчивый предельный цикл Гд, области 2, 3, 4, 7.
3. Стационарная диссипативная структура - точки В2 и В2, области 4, 5, 6,
8.
4. Нестационарная диссипативная структура - устойчивые предельные циклы
Ti и Г2, область 7. По терминологии, предложенной в работе В.А. Васильева
[34], - динамическая диссипативная структура.
Мягкие и жесткие перестройки притягивающих режимов, происходящие при
изменениях значений параметров, очевидны из рис. 6.1.2 и 6.1.3 и частично
описаны выше. В частности, в системе (6.1.7) возможно как мягкое, так и
жесткое возбуждение диссипативной структуры. Первому случаю отвечает
непосредственный переход из параметрической области 1 в область 6,
второму (жесткому режиму возбуждения диссипативной структуры) отвечает
либо переход 1 -> 6 через область 8, и при этом диссипативная структура
жестко возбуждается из состояния равновесия, либо последовательное
прохождение через параметрические области 1 -*2 -*¦ -*¦3 -*4 -*5, и при
этом в системе сначала из состояния равновесия мягко возникает режим
автоколебаний, а затем он жестко срывается на стационарную диссипативную
структуру.
Математическую основу проведенного исследования составило изучение
бифуркационных событий, происходящих в системе вида (6.1.4) в окрестности
параметрической точки типа (0 ± г), т-е- параметрической точки,
отвечающей пересечению на плоскости параметров системы бифуркационных
линий, отвечающих одному нулевому и паре чисто мнимых собственных
значений системы [23].
В связи с этим возникает два вопроса: во-первых, в какой мере все
изложенное относится к системам типа (6.1.4), а в какой мере характерно
лишь для конкретной системы (6.4.7)?
Ответ состоит в следующем. В билокальной системе кинетика-миграция,
описываемой системой дифференциальных уравнений (6.1.4), однородное по
пространству состояние равновесия при изменении значений параметров может
терять устойчивость в случае общего положения
161
двумя способами. В первом случае пересекает нулевое значение и становится
положительной действительная часть пары комплексных собственных значений
системы. При этом в системе происходит колебательная потеря устойчивости,
аналогичная таковой в соответствующей локальной системе. Колебательная
потеря устойчивости может быть необязательно мягкой, как в рассмотренном
выше случае, но, вообще говоря, и жесткой.
Второй возможный тип потери устойчивости однородным равновесием в системе
типа (6.1.4) сопряжен с тем, что через нулевое значение проходит и
становится положительным действительное собственное значение системы. При
этом происходит диффузионная потеря устойчивости, и в системе может
возникать диссипативная структура. Возникновение диссипативной структуры
при изменении значений параметра может быть как мягким, так и жестким.
В случае, когда система зависит от двух или более параметров, естественно
описать суперпозицию колебательной и диффузионной потерь устойчивости.
Ситуация в целом описывается при этом бифуркационной структурой
параметрической окрестности точки пересечения на плоскости параметров
