Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Базыкин А.Д. -> "Математическая биофизика взаимодействующих популяций" -> 71

Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.

Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций — М.: Наука, 1985. — 181 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskayabiofizikavzaimpopulyaciy1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 83 >> Следующая

(1 - 5)2/(1 - 25) существует и притом устойчивое нетривиальное
равновесие. При пересечении параметром а критического значения а = = (1 -
5)2/ (1 - 25) равновесие теряет устойчивость и на фазовом портрете
рождается малый устойчивый предельный цикл.
Таким образом, исследуем систему (6.1.4) в следующей конкретной форме
[26, 27, 106]:
Mj = м2(1 - ut) - и, v - /"("! - и2),
"2 = Wj(l - lh) - uiV - т(и2 - и,),
I и, +и2 \
v = v I а - 5и1. (6.1.7)
На параметрическом портрете системы (рис. 6.1.2) квадрант положительных
значений параметров распадается на девять областей, отвечающих
качественно различному динамическому поведению системы. Границами этих
областей являются линии, отвечающие бифуркациям коразмерности один
фазового портрета системы. Фазовые портреты, отвечающие областям (7 -8),
представлены на рис. 6.1.3.
Опишем последовательно фазовые портреты системы и бифуркации,
происходящие с ними при изменении значений параметров. При а > 1 (область
0) единственное устойчивое равновесие (ut - и2 - а; и = 0) соответствует
вымиранию хищника. При значениях параметров, лежащих в области 1, в
системе имеется единственное нетривиальное глобально
158
устойчивое равновесие А, соответствующее стационарному сосуществованию
популяций хищника и жертвы. При достаточно большом значении коэффициента
миграции т уменьшение параметра а приводит к переходу системы в область
2; равновесие А мягко теряет устойчивость, и на фазовом портрете системы
рождается устойчивый предельный цикл ГА. Этот цикл отвечает
автоколебательному режиму, при котором плотности популяций жертвы в обеих
подпопуляциях совершают синхронные и идентичные колебания. Описанные пока
фазовые портреты билокальной системы (6.1.7) и их бифуркации полностью
тождественны таковым в локальной системе (6.1.6).
При малых значениях параметра т поведение билокальной системы значительно
разнообразней поведения локальной. Рассмотрим сначала последовательно
фазовые портреты системы и перестройки, происходящие с ними, по мере
изменения значений параметров, отвечающего обходу на параметрическом
портрете точки 3 (см. рис. 6.1.2). При значениях параметров,
соответствующих точке 3, в нуль одновременно обращается действительное
собственное значение системы и действительная часть пары собственных
значений (Xf1 = 0, Re Х*3 = 0). Другими словами, точка 3 параметрического
портрета отвечает бифуркации коразмерности два типа (0 ± i} трехмерного
фазового портрета системы с дополнительным вырождением за счет симметрии
системы.
При переходе значений параметров 2 -+3 знак Xf1 меняется на
положительный, и на фазовом портрете от точки А отщепляется пара седловых
состояний равновесия В] и В2, характеристические показатели которых X? <
0, Re Х2;3 > 0. Единственным притягивающим объектом в фазовом
пространстве по-прежнему, как и при значениях параметров в области 2,
остается устойчивый предельный цикл ГА в плоскости их - и2.
При переходе параметров в область 4 становятся отрицательными ReX(r)3 и
равновесия В! и В2 приобретают устойчивость. При этом от каждого из
равновесий Bi и В2 отделяется седловой предельный цикл Г! и Г2
соответственно, т.е. происходит ''обратная бифуркация Андронова-Хоп-фа".
Сепаратрисные поверхности циклов Г! и Г2 отделяют области притяжения
равновесий В! и В2 от области притяжения устойчивого цикла ГА. Как
упоминалось выше, устойчивые стационарные состояния Bi и В2, лежащие вне
плоскости их = и2, являются в рамках рассматриваемой постановки задачи
аналогом стационарных диссипативных структур.
При переходе 4 -> 5 седловые циклы Г( и Г2 сливаются с устойчивым циклом
ГА, в результате чего цикл ГА становится седловым. Притягивающими
объектами в фазовом пространстве остаются лишь равновесия В] и В2
(''диссипативные структуры"). Сепаратрисной поверхностью, разделяющей
области их притяжения, становится плоскость м, = и2.
При переходе 5 -*• 6 происходит обратная бифуркация Андронова-Хопфа с
равновесием А: цикл ГА ''схлопывается" на равновесии А и равновесие из
''полностью неустойчивого" становится седловым Xf1 > 0, КеХ^з < 0.
Наконец, при переходе 6 -* 1 циклическая последовательность бифуркаций
завершена: равновесия В] и В2 сливаются с равновесием А, в результате
чего последнее становится глобально устойчивым.
Кроме областей, непосредственно примыкающих к точке 3, на параметрическом
портрете системы присутствуют еще две области, а именно
159
и,
(c) (c) (c)
Рис. 6.1.3. Схематическое изображение трехмерных фазовых портретов
системы (6.1.7) для соответствующих областей параметрического портрета.
Ось и перпендикулярна плоскости рисунка. Жирные линии соответствуют
''проекциям" предельных циклов, пунктирные - интегральным поверхностям
7 к 8 (см. рис. 6.1.3). При значениях параметров, лежащих в области 7, на
фазовом портрете системы одновременно существуют пять предельных циклов,
из которых два (Г] и Г2) являются седловыми, а три (Гд, Г! и Г2) -
устойчивыми. Цикл ГА отвечает, как и при значениях параметров, лежащих в
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 83 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed