Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Базыкин А.Д. -> "Математическая биофизика взаимодействующих популяций" -> 57

Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.

Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций — М.: Наука, 1985. — 181 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskayabiofizikavzaimpopulyaciy1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 83 >> Следующая

5.1.3, 6. Ему соответствует следующая система дифференциальных уравнений:
х =ах - Ь2ху - b3xz,
y = -cty +dtxy - b2yz,
z = -c2z + d2yz + d3xz, (5.2.7)
120
которая заменой
. , с, а
t = Td, X =- и, у =- di Ъх
приводится к
а
с 1
У, Z =---------------- W
Ьг
(5.2.7')
U = м(1 - v - |3w), v = - 7ju(1 - и + w), w = - 72w(a - и - 5 w),
(5.2.8)
TAe71 = Ci/e, 72 =d2/bl,ct = blC2lad2,(l = Cib3/ab2,5=b1c1d3lad1d2.
Особые точки системы:
0(w = v = w = 0); A1(u = v = 1, w = 0); А2(м=а/5, u = 0, w= 1//3),
1 - a + 5
¦)
Заметим, что (5.2.8) - первая из рассматриваемых в этой главе ''неволь-
терровских" систем. Действительно, хотя терминология в этой области не
вполне устоялась, вольтерровскими часто называют системы, удовлетворяющие
следующим требованиям: трофические отношения описываются билинейными
членами; матрица коэффициентов, описывающих трофические отношения,
знакосимметрична; выполняется''принцип эквиален-тов", состоящий в том,,
что для систем видаxr =xr(ar + (1 /br) Y,drsxs) выполняется условие &r s
= -dsr. s
Применительно к системе (5.2.8) это условие означет /3 = 5. Нас
интересует общий случай, когда вообще говоря /3 Ф 5.
Рассмотрим бифуркации, происходящие с особыми точками системы,
ограничиваясь, как всегда при этом, положительным октантом фазового
пространства. Таких бифуркаций две: слияние нетривиального, лежащего
внутри октанта равновесия А3 с равновесиями Ах и А2 соответственно.
Уравнения, определяющие соответствующие бифуркационные поверхности в
пространстве параметров^ имеют вид 3 = о: - 1; "2з: S = /3/(/3 + 1).
Полное представление о структуре параметрического пространства (а, 0, 5}
в отношении бифуркаций, происходящих в первом октанте фазового
пространства, дает произвольный {а, 5} срез при любом значении/3 (рис.
5.2.3, д). Пунктирами обозначены прямые, отвечающие бифуркациям,
происходящим вне первого октанта фазового пространства системы. Фазовые
портреты системы для соответствующих параметрических областей
представлены на рис. 5.2.3, б.
Таким образом, при значениях параметров, лежащих в областях 2 и 4,
нетривиальные равновесия в системе отсутствуют. При значениях параметров
в областях 1 и 3 нетривиальное равновесие существует, но неустойчиво.
Характер неустойчивости равновесия А3 при значениях параметров в областях
] и 3 различен: в первом случае \х < 0, Re Х2 ,з > 0, во втором,
напротив, Xi > 0, Re Х2,з < 0. Заметим, что при пересечении на плоскости
121
а
параметров {а, 5}бифуркационных линий ахз и в2з в нуль обращаются
одновременно и действительное собственное значение Aj, и действительная
часть комплексной пары собственных значений Re Х2,з. Другими словами,
можно сказать, что соответствующие бифуркации имеют условную
коразмерность один в силу конкретного вида системы.
В чем состоит биологическая интерпретация полученных результатов?
Рассмотрим сначала частный случай системы (5.2.8), когда удовлетворяется
принцип эквивалентов (3=5. Биологический смысл принципа эквивалентов
состоит в том, что при построении системы, описывающей динамику некоторой
трофической сети, принимается существование постоянного для каждого вида
коэффициента переработки либо в его собственную биомассу биомассы любой
из потребляемых им жертв, либо его биомассы в биомассу любого из
потребляющих его хищников [79]. Заметим, что 122
оба эти допущения весьма искусственны. Известная общая теорема [35]
относительно систем, удовлетворяющих принципу эквивалентов, состоит в
том, что при нечетном числе видов одновременное сосуществование (даже
неустойчивое) всех видов невозможно.
В системе (5.2.8) при соблюдении принципа эквивалентов возможен один из
двух исходов. При а < 2 консумент вымирает и остается сообщество двух
видов - продуцента и хищника, причем хищник, естественно, полностью
переходит на ''травоядное" питание; при а>2 хищник вымирает и остается
сообщество, содержащее популяции продуцента и консу-мента. Таким образом,
при соблюдении принципа эквивалентов поведение описываемой системы
(5.2.8) ячейки трофической сети не отличается от поведения системы два
хищника-жертва.
При отказе от принципа эквивалентов оба описанных только что режима
поведения при некоторых значениях параметров по-прежнему реализуются при
любом знаке неравенства /3 Ф S. При достаточно больших значениях а
хищник, как и в случае соблюдения принципа эквивалентов, вымирает
(параметрическая область и фазовый портрет 4). Однако при /3 Ф S
возникают параметрические области, в которых одновременное
сосуществование всех трех видов оказывается возможным, но неустойчивым.
Характер поведения системы в целом при этом определяется знаком
неравенства (3?=5.
При (3 < 5 сравнительно высока эффективность потребления хищником
продуцента и в результате при значениях параметров, лежащих в области 3;
каждое из равновесий А2 и А2, соответствующих сосуществованию продуцента
с консументом и с хищником, оказывается устойчивым относительно инвазии
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 83 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed