Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Базыкин А.Д. -> "Математическая биофизика взаимодействующих популяций" -> 55

Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.

Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций — М.: Наука, 1985. — 181 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskayabiofizikavzaimpopulyaciy1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 83 >> Следующая

из автотрофов - факультатитвный хищник по отношению к другому. Граф з
отвечает ситуации один автотроф-два ге-
115
Рис. 5.1.4. Три наиболее интересных случая вырождения трофических
структур, реализующихся в системе трех популяций
теротрофа, причем один из гетеротрофов - факультативный хищник по
отношению к другому.
Заметим, что терминология и способы графического представления в этой
области не вполне устоялись: с одной стороны, хищников принято считать
верхним трофическим уровнем, с другой стороны, поток вещества-энергии,
проходящий через экосистему, изображать текущим сверху вниз. Если
разместить компоненты анализируемой модельной системы на трех трофических
уровнях, считая хищника верхним, то графы на рис. 5.1.3, а принимают вид
рис. 5.1.3, б.
Выше мы исключили из рассмотрения ситуации, в которых система содержит
автотрофного хищника, как экзотические. Таким образом, трофический граф
ж, изображенный на рис. 5.1.3, а, также оказывается за рамками нашего
анализа. Напротив, трофический граф з (см. рис. 5.1.3,б), отвечающий
факультативной ''травоядности" хищника, описывает очень распространенную
экологическую ситуацию и в дальнейшем будет проанализирован подробно.
До сих пор мы рассматривали лишь полные трофические графы, в которых с
тем или иным знаком реализовывались все возможные трофические связи между
популяциями. Однако интерес представляют также неполные трофические
графы, в которых отдельные возможные трофические связи отсутствуют.
Очевидно, что в реальных экологических системах осуществляются лишь
немногие из принципиально возможных трофических связей. В системе трех
взаимодействующих популяций интерес представляют три типа вырожденных
(неполных) трофических структур, являющихся частными случаями полных
трофических структур, при отсутствии одной из трофических связей: две
жертвы-один хищник, два хищника-одна жертва, продуцент-консумент-хищник
без факультативной ''травоядности" хищника (рис. 5.1.4, графы а-в).
Первые два из этих случаев переходят друг в друга при обращении
направления времени. С анализа этих частных случаев мы начнем
исследование систем дифференциальных уравнений, описывающих системы трех
взаимодействующих популяций.
5.2. СООБЩЕСТВА БЕЗ КОНКУРЕНЦИИ
Рассмотрим дифференциальные уравнения, описывающие системы трех
популяций, связанных между собой трофическими взаимоотношениями в
соответствии с графами, проанализированными в предыдущем разделе.
Предполагается, что трофические отношения между популяциями количественно
отвечают схеме Вольтерра, т. е. описываются билинейными членами, и какие-
либо иные, в частности конкурентные, отношения отсутствуют.
5.2.1. Система один хищник-две жертвы и одна жертва- два хищника
Трофическому графу а (см. рис. 5.1.4) отвечает следующая система
дифференциальных уравнений:
х, =а1х1 - Ьххху,
х2 = а2х2 - Ь2х2у,
v = -y2v(\ U\ - и2),
где 7i =b2/bu 7г =с/д,, п=а2Ъх/ахЬ2.
Координатные плоскости системы являются интегральными. При и Ф 1 система
не имеет нетривиальных (лежащих не на координатных плоскостях)
равновесий.Равновесные точки системы, кроме начала координат, следующие:
Ai (и! = 1, и2 =0, и = 1),
A2("i =0, и2=п, v= 1).
На координатных плоскостях {"i.u) и (м2, и) точки Ai и А2 соответственно
являются центрами, а траектории образуют однопараметрические семейства
замкнутых траекторий.
Не ограничивая общности, можно считать и > 1. Тогда из точки Ai
траектория выходит внутрь первого фазового октанта и, напротив, в точку
А2 траектория входит из октанта (рис. 5.2.1). При п< 1 ситуация обратная.
При п = 1 на фазовом портрете имеется прямая неизолированных особых точек
их + и2 =1,и = 1.
Для того чтобы понять, как устроены траектории системы глобально,
рассмотрим случай 7i = 1 и перейдем в цилиндрическую систему координат:
"1 =р cos и2 =р sin
у = -су + dxxxy +d2x2y, которая заменой
ах а2 ах
t = т/а i, *1 =- ил, х2 =- иг, у =- v dx d2 b i
переводится в
(5.2.1)
"1 ="i(l -и), и2 = ухи2(п - и),
(5.2.2)
117
В новых координатах при 7i = 1 система (5.2.2) принимает вид р = р [1 - v
+ (и + 1) sin 2ф\,
1
ф = - (п - 1) sin 2iр,
v = -yv [1 - р (sin ip + cosy)].
(5.2.3)
Из вида системы (5.2.3) следует, что интегральная плоскость \р - О (в
''старых" переменных координатная плоскость {их, и} ) в целом
отталкивающая, а плоскость ^=я/2 (координатная плоскость {и2, и})
притягивающая.
Теперь можно представить себе структуру фазового пространства в целом.
Траектория, выходящая из точки Ai внутрь первого октанта, притягивается к
некоей замкнутой траектории на координатной плоскости
{ ы2, и) . Соответственно траектория, входящая в точку А2 из первого
октанта, сматывается с некоторой замкнутой траектории на координатной
плоскости {u,, v). Это, в частности, означает, что траектории,
сматывающиеся внутрь октанта с произольной замкнутой траектории на
плоскости { и,, v} , наматываются не на какую-то определенную замкнутую
траекторию на плоскости (и2, и}, а на множество траекторий, заключенных
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 83 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed