Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Базыкин А.Д. -> "Математическая биофизика взаимодействующих популяций" -> 51

Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.

Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций — М.: Наука, 1985. — 181 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskayabiofizikavzaimpopulyaciy1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 83 >> Следующая

Предположим, что динамика численности обеих популяций, находящихся в
отношении протокооперации, в отсутствие партнера описывается
логистическим уравнением, коэффициенты которого, вообще говоря, различны
для обеих популяций. Что касается влияния на динамику численности самих
отношений протокооперации, то в первом приближении представляется
естественным предположить, что они могут быть описаны аналогично
отношениям хищник-жертва, т.е. билинейными членами, входящими в оба
уравнения с положительными знаками. Соответствующая система
дифференциальных уравнений имеет вид
Кх -х,
=аухх------- + Р 1X1*2,
*2 = <*2*2 " +/>2*1*2 • (4-2.1)
к2
Замена г = т/аi, *1 ~KiUif х2 "К2и2 переводит эту систему в
"! =И,(1 -И, +Р,И2),
"2 =7"г(1 -"2 +P2"i). (4.2.2)
где у = а2/а,, р, = P1KtK2/al, р2 =P2KxK2ja2.
Ha рис. 4.2.1 изображены два варианта возможного взаимного расположения
нуль-изоклин системы и соответствующие фазовые портреты.
Естественна следующая интерпретация полученных результатов. При Р1Р2 < 1
существует единственное состояние устойчивого равновесия системы,
отвечающее устойчивому сосуществованию обеих взаимодей-106
^ ^ ^ ff 0
Рис. 4.2.1. Возможные варианты взаимного расположения нуль-изоклин (я)
при PiPi <1 (сплошные прямые), р^рг > 1 (пунктир), и набор фазовых
портретов (б,в) системы (4.2.2)
ствующих популяций. При этом равновесная численность обеих популяций
больше равновесной численности в отсутствие партнера. Этим ситуация
отличается от сосуществования при конкуренции и в этом проявляется
положительный для обеих популяций характер отношений типа
протокооперация.
При Р1Р2 > 1 устойчивого равновесия не существует и обе популяции при
любых ненулевых начальных численностях неограниченно растут, несмотря на
существование внутривидовой конкуренции в обеих популяциях, описываемой
логистическими уравнениями. Интерпретация полученного результата состоит
в том, что при выбранной математической форме описания влияния
протокооперации на динамику популяций оказывается, что положительный
эффект протокооперации может при всех численностях доминировать над
отрицательным эффектом внутривидовой конкуренции. Это безусловно
свидетельствует об ограниченной области применимости билинейного описания
эффекта протокооперации. С аналогичным обстоятельством мы встретились
ранее при билинейном описании эффекта взаимодействия между хищником и
жертвой. В случае системы (4.2.1) билинейное представление эффекта
протокооперации означает, что неограниченное увеличение численности
популяции вида-партне-ра должно приводить к неограниченному увеличению
удельной скорости размножения рассматриваемого вида, что биологически
абсурдно. Выход из положения очевиден и аналогичен использованному уже
при описании системы хищник - жертва: при описании эффекта
протокооперации следует учесть эффект, аналогичный эффекту насыщения
хищника. Система, описывающая динамику взаимодействующих популяций,
принимает при этом вид
Kj - Xj Pix1x2
х1 =а 1X1--------- +-------- ,
К i 1 +D i*2
К2-х2 P2xix2
х2=а2х2------------+-------- . (4.2.3)
К2 1 +D2xt
Коэффициенты Dt и D2 аналогичны коэффициенту насыщения в системе
107
(3.3.5). Такой вид записи означает, что при неограниченном росте
численности популяции, например второго вида, удельная скорость роста
численности первого вида при малой плотности популяции растет,
асимптотически приближаясь к величине атлх = ау + Py/Dy.
Замена г = r/лу, ху =Куиу, х2 -К2и2 переводит систему (4.2.3) в
где Ьу =DyKy, Ь2 =D2K2, у = а2/ау.
Взаимное расположение нуль-изоклин системы качественно одинаково при всех
значениях параметров и соответствует существованию на фазовом портрете
системы, совпадающем с изображенным на рис. 4.2.1, б, одного глобально
притягивающего состояния равновесия, отвечающего сосуществованию обеих
популяций. Равновесные численности обеих популяций при сосуществовании
выше, чем равновесные численности изолированных популяций.
В заключение рассмотрим протокооперацию популяций, динамика каждой из
которых при изолированном существовании характеризуется наличием нижней
критической численности. Динамика такой пары популяций в предположении
билинейного характера протокооперации описывается системой
*i =ауху(ху ~Ly)(Ky -ху)+Рухух2,
х2=а2х2(х2 - Ь2){К2 - х2) +Р2хух2. (4.2.5)
Стандартная замена переменных приводит эти уравнения к виду
йу =иу(иу -/0(1 -иу)+руиуи2,
Нуль-изоклины системы представляют собой параболы с вершинами,
расположенными в отрицательных квадрантах, и с ветвями, ориентированными
в положительных направлениях. В первом квадранте параболы могут иметь от
двух до четырех пересечений. Параметрический и полный набор фазовых
портретов представлены на рис. 4.2.2 и 4.2.3.
Биологическая интерпретация полученных результатов весьма естественна.
При любых значениях параметров локально устойчивыми являются состояние
сосуществования обеих популяций и тривиальное состояние равновесия,
соответствующее вымиранию обеих популяций. Заметим, что в режиме
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 83 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed