Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
внутрь первого квадранта, совпадает с сепаратрисой, входящей в седло В2.
Замечание. При значениях параметров, лежащих в рассматриваемом
треугольнике, на фазовом портрете выходящая сепаратриса седла В2
96
0 и
Рис. 3.55. Набор грубых фазовых портретов системы (3.5.12)
в силу системы совпадает с входящей сепаратрисой седла Bi, поскольку обе
они совпадают с осью абсцисс фазового портрета. Это означает, что
значения параметров, при которых сепаратриса, выходящая из седла В,,
совпадает с сепаратрисой,, входящей в седло В2, отвечают существованию на
фазовом портрете сепаратрисного цикла, образованного сепаратрисами двух
седел Bi и В2. Поэтому в дальнейшем соответствующую бифуркационную линию
мы будем называть линией сепаратрисного цикла. Заметим, что, вообще
говоря, бифуркация образования замкнутого контура (цикла) сепаратрисами
двух седел имеет коразмерность два (точнее, ''один плюс один"), но для
конкретного вида системы (3.5.12) в силу того, что в рассматриваемой
параметрической области выходящая сепаратриса седла В2 и входящая
сепаратриса седла В] совпадают с координатной остью, эта бифуркация имеет
условную коразмерность один и ей соответствует линия на двумерном
параметрическом портрете.
Кроме линии петли сепаратрис на параметрическом портрете, вообще говоря,
не исключено присутствие линий кратных циклов. Как линия петли
сепаратрис, так и линии кратных циклов не имеют аналитического выражения
и должны отыскиваться численно. Численное построение параметрического
портрета значительно облегчается следующими аналитическими соображениями:
1. Первая ляпуновская величина на линии т = lA(l + 1) нейтральности
равновесия А везде положительна. Это означает, что при изменении значений
параметров, соответствующих пересечению линии нейтральности сверху вниз,
на фазовом портрете системы равновесие А теряет устойчивость с рождением
малого устойчивого предельного цикла.
2. Проведенное Ф.С. Березовской [16] исследование структуры бесконечно
удаленных особых точек фазового портрета и сложных особых точек, лежащих
в конечной части фазового портрета и возникающих при критических
значениях параметров 1-0, 1 = 1, т-0, т= 1, показывает, что: а) линия
сепаратрисных циклов на параметрическом портрете выходит из точки т = 1=
1, причем ниже линии нейтральности равновесия А, и входит 7. Зак.75 97
в точку т = 1 = 0, т.е. она либо не пересекает линии нейтральности
равновесия А, либо пересекает ее четное число раз; б) линия кратных
циклов (если она существует) не имеет концевых точек на линиях т = / и т
= 1. Это означает, что линия кратных циклов, если она существует и
незамкнута, должна иметь концевые точки на линии сепаратрисных циклов.
Эти точки, если они присутствуют на параметрическом портрете,
соответствуют бифуркации коразмерности два нейтральности сепаратрисного
цикла.
3. Условие нейтральности сепаратрисного цикла задается простым
локальным условием, а именно соотношением собственных чисел системы в
седлах Bj и В2. Сепаратрисный цикл устойчив при
где верхний индекс (1) отвечает отрицательным, а (2) - положительным
собственным числам, и неустойчив при обратном знаке неравенства. Для
системы (3.5.12) условие нейтральности сепаратрисного цикла имеет вид т =
21/(1 + /). На параметрическом портрете эта линия соединяет начало
координат с т = I = 1 и лежит ниже линии нейтральности равновесия А.
На этом аналитические соображения о структуре параметрического портрета
системы (3.5.12) исчерпываются. Сравнительно несложное численное
определение взаимного расположения выходящей сепаратрисы седла Bi и
входящей сепаратрисы седла В2 при значениях параметров, удовлетворяющих
условию нейтральности сепаратрисного цикла, позволяет убедиться в том,
что в широком диапазоне значений у сепаратрисный цикл всегда устойчив.
Таким образом, параметрический портрет системы
(3.5.12) построен (см. рис. 3.5.8,6).
Интерпретируем полученные результаты в биологических терминах. Модель
предсказывает возможность четырех различных режимов динамики системы.
Перечислим их последовательно в порядке возрастания приспособленности
хищника к жертве (т.е. уменьшения параметра т). Все остальные значения
параметров, характеризующих систему, можно считать фиксированными.
1. При малой приспособленности хищника к жертве (т > 1) популяция хищника
всегда вымирает. Другими словами, плотности популяции жертвы,
обусловленной доступными ей ресурсами, недостаточно, чтобы прокормить
хищника. Популяция жертвы при этом в зависимости от начальных условий
либо также вымирает, либо стабилизируется.
2. Увеличение приспособленности хищника создает возможность устойчивого
стационарного сосуществования хищника с жертвой.
3. При дальнейшем возрастании приспособленности хищника сосуществование
становится возможным лишь в автоколебательном режиме, причем амплитуда
колебаний тем больше, чем выше приспособленность хищника.
4. Наконец, если приспособленность хищника становится слишком велика
