Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Опишем подробнее фазовые портреты 11 и 12, не встречавшиеся ранее, и
перестройки, происходящие с ними при изменении значений параметров.
Динамическое поведение, соответствующее портрету 12, близко к поведению
системы при значениях параметров, лежащих в области 5: на фазовом
портрете существуют одновременно два локально устойчивых равновесия Ai и
Аг. Отличие состоит лишь в характере границы, разделяющей области
притяжения этих равновесий. При значениях параметров, лежащих в области
5, на фазовом портрете, как уже указывалось, область притяжения Ai
ограничена входящей в седло сепаратрисой. При значениях параметров,
лежащих в области 12, на фазовом портрете границей области притяжения
равновесия At является окружающий равновесие неустойчивый предельный
цикл.
Более разнообразно поведение системы при значениях параметров,
находящихся в области 11. В этом случае (впервые среди систем, изученных
в настоящей работе) при фиксированных значениях параметров одновременно
реализуются три нетривиальных притягивающих режима: устойчивое равновесие
At, окружающий его устойчивый предельный цикл и устойчивое равновесие А2.
Из этого, в частности, следует, что возмущения равновесия А! в
зависимости от характера и интенсивности могут приводить к трем различным
исходам: при слабых возмущениях система возвращается в то же самое
состояние равновесия, при средних - переходит в устойчивый
автоколебательный режим вокруг этого равновесия, и, наконец, при сильных
возмущениях происходит переход системы в новое состояние равновесия А2 •
Область слабых возмущений заключена внутри неустойчивого предельного
цикла, окружающего равновесие At; область средних возмущений лежит между
неустойчивым предельным циклом и входящей сепаратрисой седла С; сильные
возмущения выводят систему за пределы области, ограниченной входящей
сепаратрисой седла С.
При исследовании системы (3.5.4) мы перечислили события, которые могут
происходить с устойчивыми равновесиями и циклами при изменении значений
параметров. Какие события, отличные от перечисленных, могут происходить в
системе (3.5.8)?
1. Срыв равновесия. Для системы (3.5.4) был описан срыв равновесия,
происходящий при переходе 2 -> 1 через линию устойчивых седлоузлов,
сопровождающийся исчезновением устойчивого равновесия. В системе (3.5.8),
кроме этого, срыв равновесия происходит при переходе 12 -+J через линию
нейтральности равновесия At. Равновесие А! при этом теряет устойчивость,
а единственным притягивающим объектом на фазовом портрете остается
равновесие А2. Феноменологически это событие близко к происходящему с
равновесием At при переходе 2 1 через линию Л i Si i,
однако механизм явления и критерии приближения к параметрической границе
совершенно иные.
2. Жесткое возбуждение колебаний. Для системы (3.5.4) описано жесткое
возбуждение колебаний при потере устойчивости единственным состоянием
равновесия А при переходе значений параметров 10 -> 3 и равновесием А2
при переходах б ^ i и 7 -> S. В системе (3.5.8), кроме этих эффектов,
возможно также жесткое возбуждение колебаний вокруг рав-
93
новесия Ai- Оно происходит при переходе 11 -* 4. Обратное явление -
жесткое затухание колебаний с выходом системы в равновесие происходит с
автоколебательным режимом при переходе 11 ->2.
Резюмируя результаты исследования системы (3.5.8), можно сказать, что при
учете факторов насыщения хищника и конкуренции жертв дополнительный учет
конкуренции хищников за жертву приводит к несколько более богатому набору
режимов динамического поведения, чем учет фактора конкуренции хищников за
отличные от жертвы ресурсы. Основные черты динамического поведения при
этом остаются теми же. Существенно новой является лишь возможность
одновременного существования при фиксированных значениях параметров трех
нетривиальных притягивающих режимов: двух устойчивых равновесий и
устойчивого предельного цикла вокруг одного из них.
3.5.4. Конкуренция жертв и конкуренция хищника за отличные от жертвы
ресурсы при третьем типе трофической функции хищника
Учет этих трех факторов приводит к системе х = ах - bx2yl (1 +Ах2) - ех2,
которая после соответствующей замены переменных принимает вид и = и -
w2u/(l + а и2) - ей2,
Эта модель отличается от системы (3.5.2) тем, что в ней учтен эффект
конкуренции хищников, и от системы (3.5.4) - предположением о нелинейном
характере выедания жертвы хищником при малой плотности популяции жертв.
Система хищник-жертва с расположением нуль-изоклин, качественно
совпадающим с таковым для системы (3.5.10), исследована в работе [115],
где констатирована возможность существования двух нетривиальных
равновесий и срыва одного из них при изменении значений параметров.
Последовательные этапы исследования системы (3.5.10) полностью повторяют
исследование системы (3.5.8) и поэтому здесь не приводятся. Результаты
исследования свидетельствуют о том, что структура (а, 5, е, у}-портрета
системы (3.5.10) качественно совпадает со структурой (а, 0, е, у}-
