Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Базыкин А.Д. -> "Математическая биофизика взаимодействующих популяций" -> 44

Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.

Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций — М.: Наука, 1985. — 181 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskayabiofizikavzaimpopulyaciy1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 83 >> Следующая

ранее (см. рис. 3.4.8, б; 3.4,4, б). Напомним, что поведение системы
(3.4.11) зависит от знака неравенства у Ф 1.
Исследование системы (3.5.8) проведем следующим образом. На первом этапе
зафиксируем некоторое значение у < 1 и построим однопараметрическое
семейство двупараметрических [а, /?}-срезов трехпараметрического {а, 0,
е}-портрета системы, возникающее при последовательном увеличении
параметра е начиная от нуля. Затем повторим ту же процедуру для
произвольного фиксированного значения у > 1.
Предваряя описание результатов исследования, заметим, что в зависимости
от значений параметров в системе существуют одно или три нетривиальных
равновесия либо нетривиальные равновесия отсутствуют ( а + е > > 1/у), и
этот случай далее не рассматривается.
90
Рис. 3.5 А. Срез параметрического портрета {а, /3} системы (3,5,8) при е
" 1 и
у > 1
Порядок исследования системы (3.5.8) при у < 1, параметрические и фазовые
портреты системы в точности совпадают с таковыми для системы
(3.5.4). Единственным отличием является замена параметра 5,
характеризовавшего в системе (3.5.4) интенсивность конкуренции хищников
за отличные от жертвы ресурсы, параметром /3, характеризующем в системе
(3.5.8) интенсивность конкуренции хищника за жертву. Поскольку близки
по биолошческому смыслу факторы, учтенные в моделях (3.5.4) и (3.5.7), то
аналогична, естественно, и интерпретация результатов исследования
моделей.
Параметрический портрет системы (3.5.8) при у > 1 и е = 0 совпадает с
параметрическим портретом системы (3.4.11). При у> \ и е^1 на (а, (Н-
срезе полного ( а, /3, е)-параметрического портрета системы существует,
так же как и на аналогичном срезе при у < 1, серповидная двуугольная
область значений параметров, при которых на фазовом портрете существуют
три нетривиальных равновесия. Что касается линии нейтральности , то она
на {а, /3} -срезе при у > 1 выглядит иначе, чем при у < 1. Представление
о ее расположении относительно координатных осей и бифуркационных линий
седлоузлов можно получить из сравнения портретов системы (3.5.8) при е =
0 и при 0=0, используя соображения непрерывности. Качественный характер
расположения трех линий петель сепаратрис устанавливается на основе
соображений, использованных при исследовании системы (3.5.4), и
подтвержден численным расчетом, проведенным Т.И. Буриевым [21].
Существенно, что участок линии нейтральности, соответствующий
нейтральности седла (пунктирная линия 53153 2 на рис. 3.5.6) пересекает
не только линию ''большой" петли сепаратрис, но и линию ''малой" петли
91
Рис. 3.5.7. Фазовые портреты системы (3.5.8) при значениях параметров,
лежащих в областях параметрического портрета / / и 12
сепаратрис, охватывающей равновесие А!. Соответствующая точка пересечения
Ж1 является концевой для линии кратных циклов, охватывающих равновесие
Ai. Второй конец линии кратных циклов расположен на участке линии
нейтральности, отвечающем нейтральности равновесия Ai, и определяется из
условия равенства нулю первой ляпуновской величины на этой линии (точка
.>i). На этом процедура построения {а, /3}-среза параметрического
портрета при произвольном у > 1 и е < 1 завершена.
Большинство параметрических областей на рис. 3.5.6 отвечает фазовым
портретам, аналогичным описанным при исследовании системы (3.5.4).
(Нумерация сохранена той же.) Лишь при значениях параметров в областях II
vi 12 в системе (3.5.8) реализуются фазовые портреты, отличные от фазовых
портретов системы (3.5.4) (рис. 3.5.7).
Рассмотрим эволюцию {а, (3}-среза с ростом е при у > 1.
При увеличении е параметрический портрет, изображенный на рис. 3.5.6,
претерпевает последовательно две существенные перестройки, связанные с
бифуркациями коразмерности три, встречавшимися ранее. Первая из них
отвечает изменению характера касания линий нейтральности и седлоузлов в
точке 33!. Одновременно при том же значении екр (у) в ту же точку 331
стягиваются оба конца линии Q кратных циклов и И). Аналогичная бифуркация
коразмерности три наблюдалась при исследовании системы (3.4.16) (см. рис.
3.4.15). При дальнейшем росте е параметрический {а, /3}-срез принимает
вид, изображенный на рис. 3.5.3, в. При этом параметрические области 11 и
12 стягиваются в точку и исчезают со среза. Новые параметрические области
не образуются.
При дальнейшем увеличении е эволюция {а, /3}-среза происходит качественно
так же, как и эволюции {а, б}-среза системы (3.5.4). Основная перестройка
{а, (3}-параметрического среза связана при этом с бифуркацией
коразмерности три, проявляющейся на (а, /3}-срсзе в прохождении линии
нейтральности через ''уголок" линии седлоузлов. При достаточно большом е
двуугольник оказывается в зависимости от значения у либо над, либо под
линией нейтральности, а затем при дальнейшем росте е стягивается в точку
и исчезает с {а, (3}-среза. Новые параметрические области 92
и соответственно новые фазовые портреты при этом не возникают. Таким
образом, полное качественное исследование системы (3.5.8) завершено.
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 83 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed