Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
устроена более сложно. Она ограничена двумя сматывающимися с
неустойчивого равновесия А! полусепаратрисами, входящими в седло С, и
представляет собой некое подобие ''улитки", скручивающейся с равновесия
А].
Такая структура области притяжения равновесия А2 приводит к двум
взаимосвязанным следствиям. Во-первых, в окрестности равновесия А] имеет
место ситуация ''динамической неопределенности" [29]: сколь угодно малое
возмущение начальных условий в любом направлении может переводить систему
из области притяжения равновесия в область притяжения предельного цикла,
и наоборот. Во-вторых, постепенное увеличение возмущения равновесия А2 в
определенном направлении, например вдоль прямой, соединяющей на фазовом
портрете равновесия А] й А2, приводит к ''чересполосице", т.е. к
качественно немонотонной реакции системы на возрастание возмущения:
система попадает то в одну, то в другую область притяжения.
Описав фазовые портреты, перейдем к описанию событий, которые могут
происходить в системе (3.5.4) при постепенном изменении значений
параметров с притягивающими объектами, т.е. с устойчивыми равновесиями и
устойчивыми предельными циклами.
При изменении значений параметров с устойчивыми равновесиями могут
происходить события пяти различных типов:
1. Срыв равновесия на новое равновесие. При значениях параметров, лежащих
в области 2, система может находиться в одном из двух состояний
устойчивого равновесия: Ai или А2. Если система находится в равновесии
Aj, то изменение значений параметров, при котором на параметрическом
портрете пересекается граница Л \ никак не сказывается на поведении
системы. Если же значения параметров пересекают линию Л\ 331, то
происходит срыв равновесия: устойчивый узел А] сливается с седлом С, и
система ''скачком" переходит в равновесие А2. Аналогично, если исходно
значения параметров лежат в области 2, то система, находящаяся в
равновесии А2 при изменении значений параметров, соответствующих переходу
в параметрическую область 1 через линию А\33ъ, скачком переходит в
равновесие Ai.
2. Мягкое возбуждение колебаний. При изменении значений параметров,
соответствующих переходу 1^-3, происходит мягкое возбуждение колебаний
вокруг единственного равновесия - явление, уже знакомое нам, в частности
по исследованию систем (3.4.2) и (3.4.8). При изменении значений
параметров, соответствующих переходу 2 -*¦ 4, в системе происходит мягкое
возбуждение колебаний, если она исходно находилась в равновесии Ai, и не
происходит никаких событий, если она находилась в равновесии А2.
3. Жесткое возбуждение колебаний. При изменении значений параметров,
соответствующих переходам 6, 10 -*¦ 3 и 7 -*-8, в системе происходит
жесткое параметрическое возбуждение колебаний - явление, знакомое нам, в
частности, по исследованию системы (3.4.3). Исходные равновес-84
ные значения переменных при эхом находятся внутри диапазона жестко
возбудившихся колебаний.
4. Срыв устойчивого равновесия на удаленный предельный цикл. Прн
изменении значения параметров, соответствующих переходу 4 -*¦ 3 в
системе, исходно находившейся в состоянии равновесия Аг, происходит срыв
равновесия на автоколебательный режим. Отличие от предыдущего случая
(жесткого возбуждения колебаний) состоит в том, что исходные равновесные
значения переменных лежат, вообще говорят, вне диапазона изменений
переменных в новом установившемся автоколебательном режиме.
5. Рождение автоколебаний из петли седлоузла. При изменении значений
параметров, соответствующих переходу 5 -* 3, в системе также происходит
возбуждение колебаний, причем сразу большой амплитуды. Отличие от двух
предыдущих случаев состоит в том, что форма колебаний носит
релаксационный характер и большую часть времени система проводит в
окрестности состояния, до бифуркации бывшего равновесным.
Рассмотрим события, которые могут происходить при изменении значений
параметров с системой, находящейся в автоколебательном режиме. Существуют
четыре типа таких событий.
1. Мягкое затухание колебаний. Явление, обратное мягкому возбуждению
колебаний из устойчивого равновесия, происходит при переходе значений
параметров 3 -*¦ 1, а также 4^2, если при значениях параметров в области
4 система находилась в автоколебательном режиме.
2. Жесткое затухание автоколебаний - явление, обратное жесткому
возбуждению автоколебаний. Происходит при переходе значений параметров 9
-*5 и 10-* 1.
3. Разрушение автоколебаний на петле сепаратрисы происходит при переходе
значений параметров 4 -" 5, если при значениях параметров в области 4
система находилась в автоколебательном режиме. По мере приближения к
бифуркационным значениям параметров амплитуда колебаний увеличивается и
колебания приобретают релаксационную форму.
4. Остановка автоколебаний в седлоузле на цикле - явление, обратное
рождению автоколебаний из петли седлоузла. Происходит при переходе
значений параметров 5 -*¦ 3. По мере приближения к бифуркационным
