Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
движении по параметру е их слиянию и исчезновению с параметрического
портрета, должны находиться либо выше, либо ниже линии нейтральности N.
Другими словами, прежде чем исчезнуть с параметрического портрета,
двуугольник должен целиком либо опуститься под линию N, либо подняться
над ней. Последовательность перестроек, происходящих при этом с
параметрическим {а, 8} -портретом, была численно исследована Т.И.
Буриевым [33]. Основное событие состоит в том, что при некотором
критическом значении параметра е линия нейтральности N проходит через
один из "углов двуугольника" (точку i или Л 2) • Эта ситуация
соответствует бифуркации коразмерности три, в общем случае не
исследованной. Параметрическая структура окрестности этой точки для
системы (3.5.4) получена посредством проекции на плоскость окружающей ее
сферы (рис. 3.5.5). Можно предположить, что эта структура отвечает случаю
общего положения для окрестности параметрической точки, общей для линии
трехкратных фазовых точек и поверхности нейтральности в
трехпараметрическом пространстве, другими словами, соответствует
нарушению одного из условий невырожденности по Богданову [31, 32].
Эволюция (а, 5) -портрета с увеличением е сопровождается некоторыми
перестройками параметрических линий кратных циклов и петель сепаратрис.
Рассматривать всю последовательность перестроек параметрического портрета
а, 5 нет необходимости, поскольку они не приводят к появлению новых
бифуркационных лин й и параметрических областей. Отметим лишь, что, как
было показано Т.И. Буриевым [33], при 7 < 7кр = 1,4 увеличение е приводит
к поднятию двуугольника над линией N, а при у > 7кр - к его опусканию под
линию N.
82
Таким образом, построение параметрического портрета и полного набора
фазовых портретов системы (3.5.4) можно считать завершенным.
Фазовые портреты и их бифуркации. Из результатов проведенного выше
исследования следует, что в зависимости от значений параметров в системе
(3.5.4) могут реализоваться десять различных типов динамического
поведения, соответствующих фазовым портретам, представленным на рис.
3.5.4. Рассмотрим, что общего у этих типов поведения между собой, какие
между ними существуют различия, какие динамические события могут
происходить при изменении значений параметров.
Прежде всего проведем классификацию фазовых портретов системы
(3.5.4) по характеру и числу притягивающих режимов:
Одно равновесие 1, 5
Один цикл 3, 8
Два равновесия 2
Равновесие и цикл 4, 6, 7, 9,10
Остановимся подробнее на структуре отдельных фазовых портретов. Портрет 1
аналогичен многим рассмотренным выше при анализе различных моделей
хищник-жертва. Он отвечает существованию одного глобально притягивающего
равновесия и особого интереса не представляет. При значениях параметров,
лежащих в области 5, система также имеет единственное глобально
устойчивое равновесие. Поведение системы при этом отличается от
предыдущего случая лишь характером переходных процессов при возвращении в
равновесие после возмущения. При анализе конкретных экологических
ситуаций эти различия, однако, могут оказаться весьма существенными.
Параметрические области 3 и 8 отвечают существованию у системы глобально
притягивающего автоколебательного режима - ситуация, также уже
встречавшаяся в ранее изученных системах. Качественно новым является
поведение системы (3.5.4) при значениях параметров, лежащих в области 2.
На фазовом портрете при этом реализуются два нетривиальных устойчивых
равновесия, в одно из которых в зависимости от начальных условий попадает
система. Заметим, что любое достаточно сильное возмущение системы,
находящейся в равновесии Ах, в сторону увеличения или уменьшения
численности любой из популяций при постоянной численности другой
переводит систему в область притяжения равновесия А2 (см. рис. 3.5.4,
режим 2).
Наиболее богат набор режимов динамического поведения системы
(3.5.4), когда на фазовом портрете одновременно имеются устойчивое
равновесие и предельный цикл. Следует различать прежде всего два случая:
устойчивое равновесие находится вне (4) и внутри цикла (6, 7, 9, 10). В
первом случае поведение системы близко к поведению на фазовом портрете 2,
с тем отличием, что вместо устойчивого равновесия Ai имеется устойчивый
предельный цикл вокруг равновесия. Любое достаточно сильное возмущение
автоколебательного режима по каждой из компонент переводит систему в
область притяжения равновесия А2.
Параметрические области 6, 7, 9 и 10 соответствуют ситуации жесткого (в
фазовом смысле) режима возбуждения автоколебаний. Любое достаточно
сильное возмущение системы, находящейся в состоянии равновесия,
83
переводит ее в область притяжения автоколебаний ''вокруг" этого
равновесия. При этом при значениях параметров в областях 7, 9 и 10 на
фазовых портретах границей области притяжения равновесия является
неустойчивый предельный цикл вокруг этого равновесия. При значениях
параметров в области 6 на фазовом портрете область притяжения равновесия
