Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Базыкин А.Д. -> "Математическая биофизика взаимодействующих популяций" -> 38

Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.

Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций — М.: Наука, 1985. — 181 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskayabiofizikavzaimpopulyaciy1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 83 >> Следующая

Структура параметрической окрестности точки, общей для линии седло-
79
узлов и линии петли сепаратрисы, в случае общего положения исследована в
работе [55]. Асимптотика линий седлоузлов и петли сепаратрисы в
окрестности точки 3) не изучены, но есть основания полагать, что эти
линии в случае общего положения касаются.
Совершенно аналогично из точки S3 г внутрь двуугольника выходит линия Р2
значений параметров, при которых на фазовом портрете системы существует
петля сепаратрис седла С вокруг точки А2. Эта линия имеет общую точку 3)
2 с верхней дугой двуугольника.
Построим фазовые портреты для некоторых параметрических областей, чтобы
проанализировать, какие еще бифуркационные линии с необходимостью
присутствуют на параметрическом портрете системы.
На рис. 3.5.4. видно, что фазовые портреты для параметрических областей 5
и б различаются лишь большим предельным циклом, охватывающим все три
равновесия. Ясно, что портрет 5 в портрет б с необходимостью переводит
бифуркация образования на фазовом портрете "большой" петли сепаратрисы
седла С, охватывающей оба равновесия А] й А2. Другими словами, на
параметрическом портрете системы с необходимостью должна существовать
линия значений параметров, отвечающих существованию на фазовом портрете
системы ''большой" петли сепаратрис. Эта параметрическая линия,
естественно, целиком лежит внутри двуугольника, поскольку значения
параметров, лежащие вне двуугольника, соответствуют отсутствию седла С на
фазовом портрете, и имеет общие точки 3 i й Зг с дугами двуугольника. Как
показано на рис. 3.5.3, в, точка 3, расположена между 33 2 и 3)t, а точка
J 2 - между ?0i и 3)2.
Полный параметрический портрет системы не исчерпывается перечисленными
линиями. Линия 3! 3 2 значений параметров, отвечающих существованию на
фазовом портрете большой петли сепаратрис, как видно на рис. 3.5.3, й,
пересекает линию 33 \ 33 2 нейтральности седла С (точка Ж). Точка Ж
пересечения соответствует исследованной в работе [68] бифуркации
коразмерности два существования на фазовом портрете системы нейтральной
петли сепаратрисы. Это означает, что если значения параметров -
пересекают линию 3 \ 3 г большой петпи сепаратрис сверху вниз на участке
3 2Ж, то на фазовом портрете из петли сепаратрисы рождается устойчивый
предельный цикл. Если же значения параметров в том же направлении
пересекают линию 3 г 3 2 на участке Ж 3 2, то на фазовом портрете при
этом "влипает" в петлю сепаратрис и разрушается неустойчивый предельный
цикл. Это, в частности, означает, что точка Ж является концевой для линии
Q значений параметров, соответствующих существованию на фазовом портрете
системы двукратных циклов.
Таким образом, при переходе значений параметров из области б в область 5
на фазовом портрете системы события могут разворачиваться двояко: либо
большой устойчивый предельный цикл разрушается (''лопается") на петле
сепаратрис, либо сначала внутри устойчивого предельного цикла из петли
сепаратрис рождается неустойчивый (параметрическая область и фазовый
портрет 9), а затем при дальнейшем движении по параметру оба цикла
слипаются и аннигилируют при пересечении значениями параметров линии Q
кратных циклов.
Остается последний вопрос. Где находится второй конец линии Q значений
параметров, при которых на фазовом портрете системы существуют 80
Рис. 3.S.4. Полный набор грубых фазовых портретов системы (3.5.4)
двукратные предельные циклы (линии кратных циклов)? Естественно
предположить, что на участке линии нейтральности между точками 42 2 к 5?
2 существует точка & , в которой обращается в нуль первая ляпуновская
величина. Эта параметрическая точка отвечает бифуркации коразмерности два
и является концевой для линии кратных циклов. Прямой расчет подтвердил
правильность этого предположения [33]. На этом построение {а, 5}-
параметрического портрета при у=\ системы (3.5.4) завершено (см. рис.
3.5.3, в). Грубые фазовые портреты для параметрических областей 1-10,
представлены на рис. 3.5.4.
В соответствии с намеченным планом исследования системы (3.5.4)
рассмотрим, как изменяется { а, 5)-портрет системы при увеличении е.
Заметим, что вид (а, 5) -портрета при е< 1 не зависит от значения
параметра у. Вид (а, 5}-среза при е> 1/4 также не зависит от значения у :
весь
6. Зак. 75
81
Рис. 3.5.5. Трехмерная структура окрестности параметрической точки
коразмерности три, общей в пространстве парамегров{ а, 6, е} для линии А
бифуркации коразмерности два трехкратных точек и поверхности N
нейтральности коразмерности один
первый квадрант {а, 6} -среза представляет собой параметрическую область
1, поскольку из соответствующих алгебраических уравнений следует, что с
возрастанием е при любых у сближаются, а затем сливаются и исчезают пары
точек Л у й Л г, &\ й &2•
Какие перестройки {а, 8} -параметрического портрета, происходящие с
увеличением е, должны предшествовать слиянию точек ^ и ? Очевидно, что в
случае общего положения обе точки х и 2 в момент, предшествующий при
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 83 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed