Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Базыкин А.Д. -> "Математическая биофизика взаимодействующих популяций" -> 37

Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.

Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций — М.: Наука, 1985. — 181 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskayabiofizikavzaimpopulyaciy1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 83 >> Следующая

существование на фазовом портрете одного нетривиального равновесия.
При е~* 0 нижняя дуга двуугольника, соответствующая бифуркации
образования на фазовом портрете седлоузла А2С, ''влипает" в координатный
угол { а, 5} , причем точка Л : стремигся к (а = 0, 6 = °°, а^2 - к (а =
1, 5 = 0), и параметрический портрет (см. рис. 3.5.3) приобретает вид,
изображенный на рис. 3.4.4, б.
Проанализируем устойчивость точек A, Ai й А2. Качественно зто можно
сделать, не прибегая к математическим выкладкам, зная лишь параметри-
77
0 9,
Рис. 3.5.3. Последовательные этапы построения параметрического портрета
системы
(3.5.4)
а - линии седлоузлов; б - линия нейтральности; в - линии петель
сепаратрис и кратных циклов (полный портрет)
ческий портрет системы (3.5.4) при е = 0 [совпадает с параметрическим
портретом системы (3.4.8) (см. рис. 3.4.4, б)] и при 5 = 0 [совпадает с
портретом системы (3.4.2) (см. рис. 3.4.1, б) ] и руководствуясь
соображениями непрерывности.
Рассмотрим положение линии нейтральности на { а, 5) -плоскости. Из
сопоставления с параметрическим портретом (см. рис. 3.4.1, б) системы
(3.4.2) следует, что ось абсцисс {а, 5)-портрета системы (3.5.4) имеет
две общие точки с линией нейтральности ^i,'(e = ei, 5 = 0) й (<* = <*2, 5
= 0) (см.рис. 3.5.3,б).
Из сопоставления с параметрическим портретом (см. рис. 3.4.4) системы
(3.4.8) и соображений непрерывности следует, что линия нейтральности
должна касаться верхней дуги двуугольника в точке 33 i (см. рис.
3.5.3,б). Между точками и 33 ^ линия нейтральности, следовательно,
пересекает нижнюю дугу двуугольника в точке r? i. При этом значения
параметров, лежащие на отрезке <ё1, соответствуют на фазовом портрете
нейтральности единственного равновесия А, а значения параметров, лежащие
на отрезке <61 331, соответствуют на фазовом портрете нейтральности
78
равновесия Aj. Параметрическая точка '6'i соответствует бифуркации
коразмерности ''один плюс один" - слиянию на фазовом портрете седла С с
узлом А2 и нейтральности Аь Точка Si 1 соответствует бифуркации
коразмерности два вырожденного седлоузла AjC (равновесия с двумя нулевыми
собственными числами), аналогичной уже встречающейся нам, в частности при
исследовании системы (3.4.8). При этом участок х Si х верхней дуги
двуугольника отвечает существованию на фазовом портрете устойчивого
седлоузла Aj С, а участок Si 1 2 - неустойчивого седло-
узла AiC.
Проследим расположение линии нейтральности между точками Зв i и & 2 (см.
рис. 3.5.3, б). Заметим, что поскольку точкизкх й 2 соответствуют
бифуркации коразмерности два, то они должны быть общими для линий
седлоузлов одинаковой устойчивости: параметрическая точка i
соответствует' слиянию на фазовом портрете седла С и двух устойчивых
узлов Ai и А2, а точка Sk2 -слиянию седла С и двух неустойчивых узлов А!
й А2. Это означает, что на нижней дуге двуугольника существует точка Si 2
такая, что участок дуги Л i Si 2 отвечает существованию на фазовом
портрете устойчивого седлоузла А2С, а участок Si 2 - неустойчи-
вого седлоузла А2С. Точка 53 2 соответствует бифуркации коразмерности два
вырожденного седлоузла А2С и является точкой касания линии нейтральности
и нижней дуги двуугольника. Дальнейший ход линии нейтральности очевиден:
она пересекает верхнюю дугу двуугольника в точке % 2 и затем входит в ось
абсцисс в точке iff 2. Точка 'в 2 отвечает бифуркации коразмерности
''один плюс один": слиянию на фазовом портрете седла С с узлом Ai й
изменению устойчивости точки А2. Линия нейтральности на (а, б}-портрете
системы (3.5,4) построена полностью. Подчеркнем, что различные участки
линии нейтральности соответствуют нейтральности различных равновесий на
фазовом портрете системы: участок iff х '6t отвечает нейтральности
единственного равновесия А, i Si х - нейтральности А!, Si 1 Si 2 -
нейтральности седла С (I Ap/Xf |= 1), ,(c)2 ^ 2 - нейтральности А2 и,
наконец, г?2 iff г - снова нейтральности единственного равновесия А.
Участок SJ xSi2, соответствующий нейтральности седла С, формально
бифуркационным не является, но на нем лежит точка X, отвечающая важной
бифуркации коразмерности два.
Характер взаимного расположения линий седлоузлов и линии нейтральности,
проведенной выше на основе общих соображений, был подтвержден
непосредственным расчетом [33].
Бифуркации предельных циклов. На параметрическом портрете системы
(3.5.4), кроме нанесенных уже линий (рис. 3.5.3, б), отвечающих
бифуркациям особых точек, присутствуют линии, отвечающие бифуркациям
предельных циклов. Рассмотрим характер бифуркаций и взаимное расположение
соответствующих бифуркационных линий. Из точки Si j внутрь двуугольника
выходит линия значений параметров, при которых на фазовом портрете
системы существует петля сепаратрисы седла С вокруг точки At. Эта линия
имеет общую точку 3) i с нижней дугой двуугольника и, естественно, не
имеет продолжения вне двуугольника, поскольку соответствующие значения
параметров отвечают отсутствию седла на фазовом портрете системы.
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 83 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed