Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Базыкин А.Д. -> "Математическая биофизика взаимодействующих популяций" -> 36

Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.

Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций — М.: Наука, 1985. — 181 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskayabiofizikavzaimpopulyaciy1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 83 >> Следующая

образом, объектом исследования в настоящем разделе являются некоторые
трехпараметрические возмущения системы (3.1.1), или системы
дифференциальных уравнений второго порядка, зависящие от четырех
параметров.
3.5.1. Насыщение хищника, нелинейность выедания им жертв (третий тип
трофической функции хищника) и конкуренция жертв
Учет этих трех факторов в исходной модели (3.1.1) или, другими словами,
дополнительный учет конкуренции жертв в модели (3.4.5) приводит к
уравнениям
Система (3.5.1) была исследована без построения параметрического портрета
в работе [131]. Проведем полное ее исследование.
Замена переменных t = т/а, х = (b/d)u, у = (ad/b2)u переводит систему
(3.5.1) в
й = и - u2v/(l +ш2)- ей2,
(3.5.2)
v= -yv + u2v/( 1 +ш2), где у = с/а, a=Ab2/d2.
х = ах -
Ьх2у
1 + Ах2у
(3.5.1)

(c)
(c)
27 //г /
Рис. 3.5.1. Парметрический портрет системы (3.5.2)
75
Параметрический портрет удобно изобразить, выбрав в качестве одной из
координатных осей значение параметра а, а другой - и0 = \/у 1(1 - ау)
(рис. 3.5.1).
Фазовые портреты системы (3.5.2) совпадают с портретом системы
(3.4.1) (см. рис. 3.4.1, в), и их интерпретация аналогична. Никаких
качественно новых эффектов в системе (3.5,2) не возникает.
3.5.2. Насыщение хищника, конкуренция хищника
за отличные от жертвы ресурсы
и конкуренция жертв
Учет этих трех факторов или, другими словами, введение фактора
конкуренции жертв в модель (3.4.7) приводит к системе
х = йх - bxy/( I + Ах) - ех2,
(3.5,3)
у - -су + dxy/(l + Ах) - hy .
Эта система была предложена в статьях [1, 12], частично, а затем и
полностью исследована в работах [12, 104, 17]. После замены t = т/а, х --
(a/d)u, у = (а/Ь)и система (3.5.3) переходит в
и- и- m/( 1 + аи) - ей2,
(3-5.4)
v = -yv + т>/(1 + ш) - Sv ,
где у = с/а, a=Ad/a, 8=g/b.
Таким образом, предстоит исследовать систему, зависящую от четырех
параметров. Задача облегчается тем, что поведение системы (3.5.4) при 5=0
и е = 0 исследовано ранее [уравнения (3.4.2) и (3.4.8) соответственно] .
Анализ системы (3.5.4) построим следующим образом. По-прежнему
рассматривая параметр у как выделенный, унаследованный от невозмущенной
системы Вольтерра, зафиксируем на первом этапе его значение и рассмотрим
уравнения (3.5.4) при 7=1. После того как параметрический портрет (а, 5,
е} при 7 = 1 будет построен, проследим его эволюцию с изменением значения
у.
Трехпараметрический [а, 5, е)-портрет системы естественно строить в виде
однопараметрического семейства двухмерных (а, б}-срезов при различных
фиксированных значениях е. При е = 0 {а, 5}-портрет системы (3.5.4)
совпадает с параметрическим портретом системы (3.4,8). Рассмотрим, как он
выглядит при 1 >е>0. При этом сначала нанесем на плоскость параметров (а,
5) линии отвечающие бифуркациям положений равновесия, а затем -
предельных циклов.
Бифуркации равновесий. Уравнения нуль-изоклин системы:
м = 0, и = (1 +аи)(1 - ем);
В случае общего положения возможны три варианта взаимного расположения
нуль-изоклин системы: когда они не пересекаются, имеют в первом
(3.5.5)
76
Рис. 3.5.2. Три варианта взаимного гг, расположения нуль-изоклин системы
(3.5.4) в случае общего положения
квадранте одну (А) и три (А,, С, А2) точки пересечения соответственно
(рис. 3.5.2).
При любых значениях параметров равновесиями системы являются начало
координат О (всегда седло) и точка В {и =
= 1/е , и = 0). J
Точка В - это глобально ^ устойчивый узел при значениях параметров, при
которых нуль-изоклины ие пересекаются в первом квадранте, и седло - при
всех остальных значениях параметров. Седлом также яляется
''промежуточное" положение равновесия С при значениях параметров, при
которых на фазовом портрете системы имеются три равновесия. Равновесия A,
Ai и А2 - неседла. Характер их устойчивости будет рассмотрен ниже.
Условия слияния точек А] и С, во-первых, и точек. А2 и С, во-вторых,
задают на плоскости параметров { а, 5} две кривые, соответствующие
бифуркациям коразмерности один седлоузлов А,С и A2Ci, соответственно.
Аналитически эти условия отвечают двукратным корням кубического уравнения
5(1 + ам)2(1 - еи) = (1 -а)и - 1. (3.5.6)
На плоскости параметров { а, б) бифуркационные кривые, "Соответствующие
существованию на фазовом портрете седлоузлов А2С и А2С, имеют общие точки
eft 2 и (рис. 3.5.3) и ограничивают замкнутую серповидную ''двуугольную"
область. Эти точки отвечают бифуркациям коразмерности два существования
на фазовом портрете трехкратной особой точки, возникающей при
одновременном слиянии двух узлов одинаковой устойчивости и седла. В
параметрических точках Л г и о#2 бифуркационные кривые касаются,
асимптотически образуя полукубическую параболу.
Таким образом, кривые S! и S2 седлоузлов AiC и А2С разбивают плоскость
параметров на две области: параметрическим точкам, лежащим внутри
двуугольника, соответствует существование на фазовом портрете системы
трех нетривиальных равновесий, параметрическим точкам вне двуугольника -
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 83 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed