Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
равновесия сохраняется. При прохождении параметром бифуркационного
значения изменяется лишь граница области притяжения равновесия: при
значениях параметров, лежащих в области 2, ею была входящая сепаратриса
седла С; при значениях параметров, лежащих в области 4, ею становится
неустойчивый предельный цикл Т_.
По мере дальнейшего уменьшения е равновесие А остается устойчивым, пока
значение параметров лежит в области 4, однако, область притяжения
равновесия - неустойчивый предельный цикл Т_ - постепенно уменьшается.
При значениях параметров, соответствующих границе параметрических
областей 4 и 5, на фазовом портрете системы неустойчивый предельный цикл
Т_ стягивается в точку. Равновесие А при этом жестко - в параметрическом
смысле - теряет устойчивость. Единственным притягивающим режимом остается
''полутривиальное" равновесие В, соответствующее вымиранию хищника.
69
Точно гак же с точки зрения внешнего наблюдателя, следящего за
равновесием А, разворачиваются события по мере уменьшения е при "Np ~> п>
rij(. Бифуркация образования на фазовом портрете системы пары циклов из
сгущения траекторий при прохождении параметром е бифуркационного
значения, соответствующего границе параметрических областей 2 и 6,
остается для внешнего наблюдателя незамеченной, так как устойчивость
равновесия А при этом сохраняется.
Наиболее сложным образом развиваются события по мере уменьшения е при ng-
> п > имр. Образование на фазовом портрете пары циклов при прохождении
бифуркационного значения, соответствующих границе параметрических
областей 2 и б, по-прежнему остается незамеченным для внешнего
наблюдателя, следящего за равновесием А. По мере дальнейшего уменьшения
значения параметра е в границах области 6 равновесие А остается
устойчивым, однако сужается область его притяжения - неустойчивый
предельный цикл Т_. При прохождении значением е бифуркационного значения,
отвечающего границе параметрических областей 6 и 3, на фазовом портрете
системы неустойчивый предельный цикл Т_ стягивается в точку и равновесие
А теряет устойчивость. При этом происходит жесткое параметрическое
возбуждение автоколебаний: траектории системы выходят на устойчивый
предельный цикл Т+.
При дальнейшем уменьшении параметра е в границах параметрической области
3 размер предельного цикла растет. Наконец, при бифуркационном значении
параметра, соответствующего границе параметрических областей 3 и 5,
устойчивый предельный цикл разрушается, ''влипая" в петлю сепаратрисы
седла С. Сосуществование хищника и жертвы становится невозможным, и
хищник вымирает.
Похоже развиваются события по мере уменьшения епри я >я>"^г. Отличие от
предыдущего случая состоит в том, что при прохождении е бифуркационного
значения, отвечающего границе параметрических областей 2 и 3, в системе
происходит мягкое возбуждение колебаний: на фазовом портрете системы
рождается малый устойчивый предельный цикл из потерявшего устойчивость
равновесия А. При дальнейшем уменьшении е устойчивый предельный цикл, так
же как и в предыдущем случае, растет и, наконец, разрушается
(''лопается"), влипая в петлю сепаратрисы С.
Остановимся подробнее на структуре опасной параметрической границы
системы (3.4.16). Такой границей правильно считать поверхность в
пространстве! п, е, у), отделяющую область значений параметров, при
которых на фазовом портрете системы существуют нетривиальное устойчивое
равновесие или устойчивый предельный цикл, от области значений
параметров, при которых на фазовом портрете глобально протягивающим
является ''полутривиальное" равновесие, отвечающее вымиранию хищника.
Такая постановка вопроса представляется естественной, поскольку в рамках
рассматриваемой модели сосуществующая пара популяций хищник-жертва - это
экосистема, явно качественно отличная от отдельно взятой популяции
жертвы. С этой точки зрения различия между сосуществованием пары
популяций хищник-жертва в стационарном и автоколебательном режимах можно
считать второстепенными.
При такой постановке опасной параметрической границей системы
70
(3.4.16) естественно считать совокупность бифуркационных поверхностей,
отделяющих параметрические области 2, 3, 4 и 6 с одной стороны от
параметрических областей 1 к 5 - с другой (см. рис. 3.4.13). Рассмотрим
структуру опасной параметрической границы подробнее на двупараметрическом
(и, е}-срезе полного (и, е, 7}-параметрического портрета системы при 4/3
> у > 1.
Прежде всего заметим, что к разрушению режима сосуществования популяций
хищника и жертвы приводит как увеличение, так и уменьшение значения
параметра е. Однако механизм разрушения режима сосуществования при этом
качественно различен. При пересечении е опасной границы по мере его
увеличения на фазовом портрете исчезает само состояние равновесия. При
уменьшении е разрушение режима сосуществования может происходить двояко,
в зависимости от значения остальных параметров. Равновесие может либо
жестко терять устойчивость с последующим вымиранием хищника, либо по мере
