Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
параметрического портрета отвечает консервативной системе и потому может
быть концевой точкой для любых бифуркационных линий.
Заметим, что перестройка, происходящая с параметрическим портретом {е, п}
при прохождении параметром у критического значения у= 1, малосущественна,
так как она не приводит ни к появлению, ни к исчезновению на
параметрическом портрете новых областей, соответствующих качественно
новым фазовым портретам. Единственное отличие {е, п }-порт-рета при 7< 1
от портрета при 4/3 >у> 1 - это невозможность непосредственного перехода
при движении по параметру из области 2 в область 4 (см. рис. 3.4.13, б,
в).
Перейдем к описанию фазовых портретов, реализующихся в системе
(3.4.16) при различных значениях параметров. Всего существует шесть
различных типов фазовых портретов. При значениях параметров, лежащих в
области 1, единственным, глобально притягивающим является равновесие В( и
= 1/е, п = 0}. Заметим сразу, что это равновесие существует и является по
меньшей мере локально устойчивым и при любых других значениях параметров.
При значениях параметров, лежащих в областях 2-6, на фазовом портрете
системы имеются два равновесия, А и С, внутри первого квадранта системы.
Равновесие С - седло при любых значениях параметров, а А
66
может быть в зависимости от значений параметров как устойчивым, так и
неустойчивым узлом или фокусом. При значениях параметров, лежащих в
области J, на фазовом портрете системы единственным глобально
притягивающим равновесием является В, так же как и при значениях
параметров в области 1 (см. рис. 3.4.14).
При значениях параметров в областях 2-4 и 6 существуют нетривиальные
притягивающие режимы, т.е. такие, при которых ни одна из фазовых
переменных системы не обращается в нуль.
Притягивающим при этом может быть равновесие Л (параметрические области
2, 4 и 6) или устойчивый предельный цикл Т+ вокруг равновесия А
(параметрические области 3 и 6). Область притяжения равновесия А может
быть ограничена либо окружающим его неустойчивым предельным циклом Т_.
(области 4 и 6), либо входящей сепаратрисой седла С (область 2). Область
притяжения устойчивого предельного цикла всегда ограничена снаружи
входящей сепаратрисой седла С (области 3 и 6) и, кроме того, может быть
ограничена изнутри неустойчивым предельным циклом (область 6).
Поведение системы при значениях параметров, лежащих в области 6,
заслуживает более подробного рассмотрения. В этой области впервые среди
изучаемых нами ситуаций в системе одновременно реализуются три
притягивающих режима, а именно нетривиальное равновесие А, устойчивый
предельный цикл Т+ и ''полутривиальное" равновесие В. При этом первый
квадрант фазового пространства, естественно, подразделяется на три
области притяжения. Границами областей являются входящая в седло С
сепаратриса и неустойчивый предельный цикл Т_, лежащий внутри устойчивого
и окружающий равновесие А.
Интерпретируем полученные результаты. То обстоятельство, что равновесие
В, отвечающее вымиранию хищника, существует и является локально
устойчивым при любых значениях параметров, легко понять. Учет фактора
конкуренции жертв ограничивает рост численности популяции жертв в
отсутствие хищника. Учет нелинейности размножения популяции хищника, или,
другими словами, замедленного характера роста численности популяции
хищника при малой плотности его популяции, приводит к эффекту
существования нижней критической плотности популяции хищника. Начальные
значения плотности популяции хищника, ниже которых популяция обречена на
вымирание, зависят, естественно, от начальной плотности популяции жертв.
При значениях параметров в областях 2, 4 и 6 в системе возможен режим
устойчивого стационарного сосуществования популяций хищника и жертвы, а в
областях 3 и 6 - сосуществование в колебательном режиме. При значениях
параметров, лежащих в узкой параметрической зоне 6, сосуществование жертв
и хищника возможно как в стационарном, так и в автоколебательном режимах
в зависимости от начального состояния системы. С этим явлением мы уже
встречались при исследовании системы
(3.4.3). При этом достаточно большие возмущения системы, находящейся в
стационарном состоянии, всегда переводят ее в режим устойчивых
автоколебаний. Другими словами, при значениях параметров, лежащих в
области 6, в системе может реализовываться режим жесткого возбуждения
колебаний в фазовом значении слова.
67
Заканчивая описание фазовых портретов системы, обратим внимание на одно
общее для них свойство. Область притяжения устойчивого равновесия может
ограничиваться либо неустойчивым предельным циклом, либо входящей
сепаратрисой седла. Очевидно, что в первом случае любое достаточно
сильное возмущение выводит систему за границу области притяжения
равновесия. Как обстоит дело во втором случае?
Из исследования особых точек на бесконечности, в частности из того
обстоятельства, что бесконечно удаленная точка на ''конце" оси абсцисс
