Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
положения параметрические линии NA нейтральности равновесия А и Р петли
сепаратрис седла С касаются параметрической линии S седлоузла АС. При
движении по третьему параметру может возникнуть дополнительное
вырождение: при пересечении третьим параметром критического значения
меняется направление вхождения линий NA и Р в точку S3, что отвечает
бифуркации коразмерности три. Именно зто происходит в системе (3.4.16)
при у = 4/3.
Заметим, что изменение направления вхождения линий NA и Р в точку S3
меняет их взаимное расположение в окрестности этой точки. К каким
дополнительным событиям на двупараметрическом ( е, п }-срезе
трехпараметрического портрета приводит это обстоятельство?
При 4/3 > 7 > 1 параметрический портрет системы принимает вид,
изображенный на рис. 3.4.13, б. Поясним структуру портрета. Изменение 64
направления вхождения линий NA и Р в точку S3 приводит к тому, что в
окрестности точки S3 возникает точка Ж пересечения линии Р петли
сепаратрисы с линией Nc нейтральности седла, изображенной на рисунке
пунктиром. Мы знаем, что точке Ж соответствует бифуркация коразмерности
два существования на фазовом портрете нейтральной петли сепаратрисы, из
которой в зависимости от направления движения по параметру может
возникнуть как устойчивый, так и неустойчивый предельный цикл. Эта
параметрическая точка является концевой для линии Q значений параметров,
соответствующих существованию на фазовом портрете системы двукратного
цикла. Возникает вопрос: где находится второй конец линии Q кратных
циклов? Естественная гипотеза состоит в том, что вторым концом линии
кратных циклов является точка § на линии Na нейтральности фокуса А, в
которой обращается в нуль первая ляпу-новская величина Lx. Численный
расчет подтверждает справедливость этого предположения и показывает, что
искомая точка расположена на линии нейтральности фокуса выше точки ее
пересечения с линией петли сепаратрисы (см. рис. 3.4.13, б).
Таким образом, можно сказать, что на (е, и)-параметрическом срезе полного
параметрического портрета системы прохождение параметром 7 критического
значения 7 = 4/3, соответствующего бифуркации коразмерности три изменения
направления вхождения линий NA и Р в точку S3, сопровождается
одновременно рождением двух параметрических точек, отвечающих бифуркациям
коразмерности два (Ж и §¦ ), и одной точки (пересечения линий NA и Р),
отвечающей бифуркации коразмерности ''один плюс один". Эти точки отвечают
соответственно существованию на фазовом портрете системы нейтральной
петли сепаратрисы, дважды вырожденного фокуса и одновременному
существованию петли сепаратрисы и нейтрального фокуса. Другими словами,
прохождение параметром у критического значения у = 4/3 приводит к
появлению на двупараметрическом (е, "}-срезе новой бифуркационной линии,
соответствующей бифуркации коразмерности один, а именно линии Q кратных
циклов.
Можно высказать предположение, что эта бифуркация коразмерности три,
исследованная в настоящем пункте применительно к конкретной системе
(3.4.16), отражает случай общего положения. Взаимное расположение
бифуркационных поверхностей и линий в окрестности этой точки
коразмерности три в трехпараметрическом пространстве схематически
изображено на рис. 3.4.15.
При этом удобно воспользоваться описанным выше графическим приемом,
состоящим в проектировании на плоскость сферы, окружающей в пространстве
параметров точку максимального вырождения системы. На рис. 3.4.15
изображена проекция одной полусферы. Проекция второй полусферы полностью
принадлежит параметрической области 1. Можно предположить, что
изображенная на рис. 3.4.15 структура отражает структуру параметрической
окрестности бифуркации codim 3, отвечающей нарушению одного из условий
невырожденности по Богданову [31, 32] в случае общего положения.
Результат проведенного исследования может служить иллюстрацией мысли В.И.
Арнольда о том, что "с увеличением числа параметров семейства при
локальном исследовании бифуркаций особых точек начинают 5. Зак. 75 65
играть роль глобальные бифуркации меньших коразмерностей" ([10]. с. 255).
Вторая перестройка (е, п}-среза полного параметрического портрета (у, е,
п} при уменьшении у происходит при 7= 1. По мере уменьшения у на { е, и]-
портрете точка вхождения изображенной пунктиром линии нейтральности седла
в ось ординат опускается, приближаясь к началу координат. При у = 1 линия
нейтральности седла претерпевает качественную перестройку, становясь при
у< 1 асимптотичной оси абсцисс.
Рис. 3.4.15. Структура параметрической окрестности точки ± коразмерности
три в системе (3.4.16)
Соответственно по мере уменьшения у от 4/3 до 1 от точки 53 до начала
координат {е, я)-портрета перемещается по линии Р петли сепаратрисы точка
5С нейтральности петли, являющаяся концевой для линии Q кратных циклов.
При 7< 1 линия кратных циклов входит в начало координат { е, я)-
параметрического портрета. Напомним, что начало координат
