Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Базыкин А.Д. -> "Математическая биофизика взаимодействующих популяций" -> 29

Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.

Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций — М.: Наука, 1985. — 181 c.
Скачать (прямая ссылка): matematicheskayabiofizikavzaimpopulyaciy1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 83 >> Следующая

Смена направления вхождения при движении по параметру у отвечает
бифуркации коразмерности три, которая будет рассмотрена ниже.
Заметим, что продолжение линии NA за точку(0, удовлетворяющее уравнению
Уп/(" + "с) - еис = 0, (3.4.20)
где ис, vc - координаты седла С (на рис. 3.4.11 обозначена пунктиром),
хотя бифуркационной линией не является, но тем не менее в дальнейшем
окажется полезным. Эта линия отвечает обращению в нуль суммы собственных
значений (седловой величины) седла С. В дальнейшем будем называть ее
линией Nc нейтральности седла С.
3. Точка общая для линии NA нейтральности А и линии Q кратных циклов
Т+. Этой точке соответствует обращение в нуль первой ляпунов-ской
величины Li на линии NA нейтральности А [28]. При пересечении линии Na по
одну сторону точки на фазовом портрете рождается устой-
61
а
(c)
л
Рис. 3.4.12. Структура параметрических окрестностей точек общей для линии
нейтральности N и линии Q кратных циклов, и К, общей для линии Р петли
сепаратрисы и линии Q кратных циклов, и соответствующие фазовые портреты
чивыи предельный цикл, по другую сторону - стягивается в точку и умирает
неустойчивый предельный цикл (рис. 3.4.12,а).
Мы уже встречались с этой бифуркацией коразмерности два при исследовании
системы (3.4.3). Подчеркнем, что хотя положение самой линии кратных
циклов не имеет аналитического выражения, положение ее конца на линии
нейтральности NA задается условием равенства нулю первой ля-пуновской
величины Li на этой линии.
4. Точка Ж, общая для линии петли сепаратрис и линии кратных циклов.
Она соответствует существованию на фазовом портрете системы нейтрального
сепаратрисного цикла, из которого в зависимости от направления движения
по параметру может рождаться как устойчивый, так и неустойчивый
предельный цикл (см. рис. 3.4.12,б).
При пересечении значениями параметров линии петли сепаратрис на фазовом
портрете системы рождается предельный цикл,устойчивость которого
определяется знаком седловой величины в параметрической точке пересечения
линии петли сепаратрис. Таким образом, хотя линия Nc ней-62
* а
Рис. 3.4.13.{и, е} -срезы полного] л, е , 7}-параметрического портрета
системы (3.4.16) при 7 > 4/3 (а), 4/3 > 7 .> 1 (б), 7 < 1 (в)
тральности седла С и не бифуркационная, точка ее пересечения с линией Р
сепаратрис седла С соответствует бифуркации коразмерности два (точка 3Q и
является концевой для линии кратных циклов (см. рис. 3.4.12, б).
Структура параметрической окрестности точки Ж в случае общего положения
исследована в работе [68].
Приведенные соображения позволяют полностью установить качественную
структуру трехпараметрического {у, е, п) -портрета системы (3.4.16).
Опишем структуру портрета в форме однопараметрического семейства
двупараметрических {е л)-срезов при различных фиксированных значениях
параметра у.
В зависимости от у реализуются три качественно различных, но обладающих
некоторыми общими чертами типа (е, "[-параметрического портрета системы
(3.4.16). При любых значениях у на {е,'"[-портретах имеются по меньшей
мере три бифуркационные линии, отвечающие бифуркациям коразмерности один:
линия S седлоузлов АС, линия NA нейтральности А и линия Р петли
сепаратрис седла С. При любых значениях у эти линии имеют общую точку
33,, отвечающую бифуркации коразмерности два.
Характер фазового портрета при значениях параметров, лежащих на плоскости
(е, "} выше линии седлоузлов S, т.е. в параметрической области 1, не
зависит от значения у (рис. 3.4.13, 3.4.14). В этом случае равновесия
внутри первого квадранта отсутствуют. Единственным глобально
притягивающим равновесием является В.
Не зависящий от значения параметра у вид имеют также фазовые портреты,
отвечающие значениям параметров, лежащим на плоскости {е, п} ниже линии
седлоузлов S в ее ближайшей окрестности, т.е. в параметрических областях
2 и 5 соответственно (см. рис. 3.4.13 и 3.4.14).
63
В 0 а
Рис. 3.4.14. Фазовые портреты системы (3.4.16)
Таким образом, исследование параметрических портретов е, п) сводится по
сути дела к построению набора возможных бифуркаций, переводящих фазовый
портрет, соответствующий параметрической области 2, в таковой для
параметрической области 5.
При 7>4/3 вид {е, п)-параметрического портрета системы (3.4.16)
качественно совпадает с {а, 0}-параметрическим портретом системы
(3.4.11) при у> 1. В системе (3.4.11), как было показано выше,
перестройка параметрического портрета (а, 0 } при движении по параметру
у, связанная с изменением направления вхождения пиний нейтральности NA и
петли сепаратрис Р в точку53, происходит при значении 7 = 1 в результате
образования при 7 = 1 линии гамильтоновых систем а = /3.
Рассмотрим подробнее, что происходит с { е, и}-портретом системы
(3.4.16) при переходе параметром 7 критического значения у = 4/3.
Ранее отмечалось, что в параметрической точке S3 , соответствующей
существованию на фазовом портрете системы вырожденного седлоузла, т.е.
особой точки с двумя нулевыми собственными значениями, в случае общего
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 83 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed