Математическая биофизика взаимодействующих популяций - Базыкин А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Равновесие С при любых значениях параметров - седло, равновесие А -
неседло, т.е. узел или фокус.
Равновесие А в зависимости от значений параметров может быть устойчивым
или неустойчивым. На плоскости параметров{п, е}при фиксированном значении
у условие смены устойчивости равновесия А задается равенством
которое назовем уравнением линии нейтральности равновесия А. При
пересечении линии нейтральности в сторону возрастания п равновесие А на
фазовом портрете системы теряет устойчивость. В зависимости от знака
первой ляпуновской величины Lx на линии нейтральности NA потеря
устойчивости А сопровождается либо рождением малого устойчивого
предельного цикла Т+, либо сжатием в точку и гибелью малого неустойчивого
предельного цикла Т_. К вопросу о знаке Lx на линии нейтральности NA мы
вернемся ниже.
Какие еще бифуркации коразмерности один возможны в системе? Таких
бифуркаций две, и обе они носят нелокальный характер и происходят при
значениях параметров, отвечающих рождению большого предельного цикла. С
такого рода бифуркациями мы уже встречались. Это бифуркации рождения
предельного цикла из петли сепаратрис и пары циклов из сгущения
траекторий.
Таким образом, построение {е, л}-параметрического портрета системы при
различных фиксированных значениях у требует установления взаимного
расположения следующих бифуркационных линий: S седлоузла АС, Na
нейтральности А, Р петли сепаратрис седла С, Q двукратных циклов
т±.
Сложность построения параметрического портрета системы состоит в том, что
положение лишь двух из четырех линий, а именно линий S и NA,
натами
(3.4.18)
уп/(п + vA)~ ейА = 0,
(3.4.19)
59
соответствующих локальным бифуркациям, задается в явном параметрическом
виде. Для линий нелокальных бифуркаций Р и Q таких аналитических условий
не существует, и отыскание с заданной точностью соответствующих значений
параметров требует, вообще говоря, применения численных методов. Однако в
рамках качественного исследования нас интересует не точное положение, а
лишь характер взаимного расположения бифуркационных линий, которое
локально задается структурой параметрических точек, общих для различных
бифуркационных линий, т.е.параметрических точек, отвечающих бифуркациям
коразмерности два. Знание локального взаимного расположения
бифуркационных линий иногда полностью определяет глобальную структуру
параметрического портрета и в любом случае радикальным образом позволяет
сократить вычисления на ЭВМ при отыскании их точного расположения.
Таким образом, ключевой идеей при построении параметрического портрета
системы служит отыскание параметрических точек, соответствующих
бифуркациям коразмерности два (и выше), и изучение структуры их
окрестности. Этот прием оказывается тем более эффективным, что
параметрические точки, отвечающие бифуркациям коразмерности два, являются
концевыми для некоторых бифуркационных линий. Зная взаимное расположение
концов, мы можем судить о взаимном расположении бифуркационных линий в
целом.
Полный набор линий, входящих в параметрическую точку, соответствующую
бифуркации коразмерности два, их взаимное расположение и характер касания
задаются версальной деформацией соответствующей вырожденной системы
дифференциальных уравнений в окрестности этой точки [10]. К сожалению, в
настоящее время версальные деформации известны не для всех интересующих
нас точек коразмерности два.
Перечислим возможные в системе (3.4.16) параметрические точки,
соответствующие бифуркациям коразмерности два и являющиеся концевыми для
бифуркационных линий.
1. Начало координат 0{ е = 0, п = о). Эта точка отвечает исходной
консервативной системе Вольтерра (3.1.2). Эта точка, как уже отмечалось
ранее, имеет лишь условную коразмерность два, поскольку отвечает
выполнению двух условий типа равенства, наложенных на параметры системы.
Формально эта точка отвечает бифуркации бесконечно высокой коразмерности.
Для нас это важно, так как означает, что в системе (3.4.16) точка 0 может
быть концевой для любых линий, отвечающих бифуркациям коразмерности один.
2.Точка(r) , общая для линии седлоузлов S и линии NA нейтральности
равновесия А. С этой точкой, отвечающей бифуркации коразмерности два
существования на фазовом портрете вырожденного седлоузла (особой точки с
двумя нулевыми собственными значениями), мы уже неоднократно встречались.
Нам важно, что она является концевой для двух бифуркационных линий: линии
NA нейтральности равновесия А и линии Р петли сепаратрис седла С (рис.
3.4.11). Обе эти линии в точке ЗЗкасательны к линии S седлоузлов АС.
Направление вхождения линий в точку и соответственно взаимное
расположение линий NA и Р на плоскости (е, л}определяются знаком условия
отсутствия дополнительного вырождения точки(r) [31, 32] .
60
't
N р
(c)
г/
Рис. 3.4.11. Возможные варианты структуры параметрической окрестности
точки коразмерности два, отвечающей двум нулевым собственным значениям
системы (а,б), и соответствующие фазовые портреты (в) (по Богданову [32])
